Question

如图所示，在竖直平面内有一平面直角坐标系xoy，第一、四象限内存在大小相等方向相反且平行于y轴的匀强电场．在第四象限内某点固定一个点电荷Q（假设该点电荷对第一象限内的电场无影响）．现有一质量为m=9×10^-4kg，带电量为 q=3×10^-12C的带电微粒从y轴上A 点（y=0.9cm）以初速度v₀=0.8m/s垂直y轴射入第一象限经x轴上的B点进入第四象限做匀速圆周运动且轨迹与y轴相切（图中A、B及点电荷Q的位置均未标出）．不考虑以后的运动．（重力加速度g=10m/s²，静电力常量k=9.0×10⁹Nm/C²、，、sin37°=0.6，cos37°=0.8）试求：
（1）点电荷通过B的速度（要求画出带点微粒运动轨迹）
（2）点电荷Q的电荷量．

Answer 1

分析：根据粒子在第四象限做匀速圆周运动可知，根据题设条件知，重力和原电场力是平衡力，点电荷对粒子的库仑力提供圆周运动的向心力，由此可以算出此时重力和电场力平衡从而求得电场强度的大小，在第一象限电场和第四象限相反，故此时电场力和重力同向，可得粒子在第一象限做类平抛运动，根据类平抛运动规律和粒子的初速度可以求出粒子在B点的速度；再根据第四象限圆周运动的特征和粒子进入第四象限的速度位置特征可求出粒子的半径，根据点电荷Q对粒子的库仑力提供粒子圆周运动的向心力从而求出粒子的库仑力，根据圆周运动半径关系可得点电荷Q的电荷量．

解答：（1）由于粒子在第四象限做匀速圆周运动，因此重力和电场力平衡，即：mg=Eq
所以粒子在第一象限做类平抛运动，其加速度大小为：a=

2mg

m

=20m/s²
微粒在第一象限运动时间为：t=

2y a

=0.03s
通过B点沿y轴负方向 的速度为：V_y=at=0.6m/s
微粒通过B点速度为：v=

v 2 x + v 2 y

=1m/s
方向与x轴正向夹角为：tanθ=

vy

vx

=

3

4

（2）微粒在0.03秒内沿x方向的位移为：X=v_xt=0.024m
设微粒做圆周运动的半径为r，由图可知：
r+rsinθ=x
r=0.015m
微粒在第四象限做圆周运动的向心力为库仑力，根据牛顿第二定律：k

qQ

r2

=m

v2

r

代入数据解得：Q=5×10^-7C．
答：（1）点电荷通过B点的速度v=1m/s，方向与x轴正向夹角为tanθ=

vy

vx

=

3

4

，轨迹如图所示：
（2）点电荷Q的电荷量为Q=5×10^-7C．

点评：根据运动的特征，粒子在第四象限做匀圆周运动，因为匀速圆周运动物体所受合外力提供向心力，可知，此时必有重力和原匀强电场的电场力平衡．第一象限和第四象限的电场方向相反，故第一象限内重力和电场力方向相同，大小相等，粒子在第一象限做类平抛运动，加速度为2g，根据类平抛运动和圆周运动的特征利用几何关系作答．