Question

15．对一根用新材料制成的金属杆M进行抗拉测量．这根金属杆长5cm，横截面积为1.0cm²，设计要求使它受到拉力后的伸长量不超过原长的$\frac{1}{100}$．由于这一拉力很大，杆又很长，直接测试有困难，现选用这种材料制成样品进行测试，得到不同情况下得伸长量如下表所示：
（1）在设计和分析实验数据中，用到了我们学过的控制变量法的科学研究方法．
（2）测试结果表明：样品受拉力作用后，其伸长量与样品的长度成正比，与样品的横截面积成反比．
（3）待测金属杆M能够允许承受的最大拉力为31250N．

长度	横截面积拉力	1000N	2000N	3000N	4000N
1m	0.10cm2	0.08cm	0.16 cm	0.24 cm	0.32 cm
2m	0.10cm2	0.16 cm	0.32 cm	0.48 cm	0.64 cm
1m	0.20cm2	0.04 cm	0.08 cm	0.12 cm	0.16 cm
2m	0.20cm2	0.08 cm	0.16 cm	0.24 cm	0.32 cm

Answer 1

分析 由题可知伸长量x与样品的长度、横截面积、所受拉力都有关系，涉及的变量较多，因此采用“控制变量法”来确定它们之间的正、反比关系，然后将各种情况进行汇总，再运用比值定义法初步确定这几个量之间的数量关系，然后根据所得公式来判断样品能承受的最大拉力，以及与什么因素有关．

解答 解：（1）由题可知伸长量x与样品的长度、横截面积、所受拉力都有关系，涉及的变量较多，因此采用“控制变量法”来确定它们之间的正、反比关系．
（2）由表格知：
①、当受到的拉力F、横截面积S一定时，伸长量x与样品长度L成正比，①
②、当受到的拉力F、样品长度L一定时，伸长量x与横截面积S成反比，②
③、当样品长度L、横截面积S一定时，伸长量x与受到的拉力F成正比，③
由①、②的结论，可知答案为：正、反．
（3）由①②③三个结论，可以归纳出，x与L、S、F之间存在一定量的比例关系，设这个比值为k，那么有：
线材伸长量x与材料的长度L、材料的横截面积S与拉力F的函数关系为x=k•$\frac{FL}{S}$（k为常数） 
则：k=$\frac{Sx}{FL}$
取S=0.10cm²=1.0×10^-5m²，x=0.08cm=8×10^-4m，L=1m，F=1000N，则：k=8.0×10^-17m²/N
将金属杆长5cm=0.05m，横截面积为1.0cm²=1×10^-4m²，设计要求使它受到拉力后的伸长量不超过原长的$\frac{1}{100}$代入公式得：F=31250N
故答案为：（1）控制变量法；（2）正，反，（3）31250

点评 本题的难度很大，题中共涉及4个变量，在解题过程中，综合应用了控制变量法、归纳法、比值定义法来进行分析、解答，对同学的综合素质要求很高，是一道考查能力的好题．