Question

17．如图所示，固定斜面足够长，斜面与水平面的夹角α=30°，一质量为3m的“L”型工件沿斜面以速度v₀匀速向下运动，工件上表面光滑，下端为挡板．某时，一质量为m的小木块从工件上的A点，沿斜面向下以速度v₀滑上工件，当木块运动到工件下端时（与挡板碰前的瞬间），工件速度刚好减为零，后木块与挡板第1次相碰，以后每隔一段时间，木块就与工件挡板碰撞一次，已知木块与挡板都是弹性碰撞且碰撞时间极短，木块始终在工件上运动，重力加速度为g，求：
（1）木块滑上工件时，木块、工件各自的加速度大小；
（2）木块与挡板第1次碰撞后的瞬间，木块、工件各自的速度大小；
（3）木块与挡板第1次碰撞至第n（n=2，3，4，5，…）次碰撞的时间间隔及此时间间隔内木块和工件组成的系统损失的机械能△E．

Answer 1

分析 （1）运用隔离法，根据牛顿第二定律求木块、工件各自的加速度大小；
（2）由动量守恒定律求出碰挡板前木块的速度，由动量守恒定律和能量守恒定律求木块与挡板第1次碰撞后的瞬间，木块、工件各自的速度大小；
（3）第1次碰撞后，木块以2v₀沿工件向上匀减速运动，工件以2v₀沿斜面向下匀减速运动，根据速度公式求工件速度再次减为零的时间，并由位移公式求出位移．木块、工件第2次相碰前瞬间的速度与第1交相碰前的瞬间速度相同，以后木块、工件重复前面的运动过程，再求得第1次与第n次碰撞的时间间隔．此时间间隔内木块和工件组成的系统损失的机械能△E等于木块、工件减少的重力势能．

解答 解：（1）设工件与斜面间的动摩擦因数为μ，木块加速度为a₁，工件的加速度为a₂．
根据牛顿第二定律得：
对木块：mgsinα=ma₁．
对工件：μ（3m+m）gcosα-3mgsinα=3ma₂．
工件匀速运动时，由平衡条件得：μ•3mgcosα=3mgsinα
解得 a₁=$\frac{g}{2}$，a₂=$\frac{g}{6}$
（2）设碰挡板前木块的速度为v，取沿斜面向下为正方向为正方向，由动量守恒定律得：
  3mv₀+mv₀=mv
得 v=4v₀．
木块以速度v与挡板发生弹性碰撞，设碰后木块的速度为v₁，工件的速度为v₂，由动量守恒定律得：
  mv=mv₁+3mv₂．
由能量守恒得：
 $\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$•3mv₂²．
解得 v₁=-2v₀，v₂=2v₀．
（3）第1次碰撞后，木块以2v₀沿工件向上匀减速运动，工件以2v₀沿斜面向下匀减速运动，工件速度再次减为零的时间
    t=$\frac{2{v}_{0}}{{a}_{2}}$=$\frac{12{v}_{0}}{g}$
   木块的速度 v₁′=-2v₀+a₁t=4v₀．
此时，木块的位移 x₁=-2v₀t+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$\frac{12{v}_{0}^{2}}{g}$
工件的位移 x₂=2v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{12{v}_{0}^{2}}{g}$
即木块、工件第2次相碰前瞬间的速度与第1交相碰前的瞬间速度相同，以后木块、工件重复前面的运动过程，则第1次与第n次碰撞的时间间隔
△t=（n-1）t=$\frac{12（n-1）{v}_{0}}{g}$，（n=2，2，3，4，…）
木块、工件每次碰撞时，木块和工件的总动能都相等，△t时间内木块、工件减少的机械能等于木块、工件减少的重力势能．
△E=4mg（n-1）x₂sin30°
解得△E=24（n-1）mv₀²，（n=2，2，3，4，…）
答：
（1）木块滑上工件时，木块、工件各自的加速度大小分别为$\frac{g}{2}$和$\frac{g}{6}$；
（2）木块与挡板第1次碰撞后的瞬间，木块、工件各自的速度大小分别为2v₀和2v₀；
（3）木块与挡板第1次碰撞至第n（n=2，3，4，5，…）次碰撞的时间间隔是（n-1）t=$\frac{12（n-1）{v}_{0}}{g}$，（n=2，2，3，4，…），此时间间隔内木块和工件组成的系统损失的机械能△E是24（n-1）mv₀²，（n=2，2，3，4，…）．

点评 解决本题的关键理清木块和工件在斜面上的运动规律，抓住碰撞的基本规律：动量守恒定律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．