Question

8．如图所示，空间存在宽度为d的水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q为磁场的上下水平边界，efgh为用粗细均匀的同种金属材料绕制的正方形单匝线框，线框的质量为m，电阻为R，边长为L，且L＜d．现将线框从图示位置距离磁场上边界为d的高度处由静止开始释放，当线框的gh边刚出磁场时，线框恰做匀速运动，已知线框运动过程中gh边始终保持水平且不转动．不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）线框的gh边刚进入磁场时gh两点间的电压U；
（2）线框进入磁场的过程中通过线框导线截面的电量q；
（3）线框穿越磁场的全过程中产生的电热Q．

Answer 1

分析 （1）先由自由落体运动的规律求出线框gh边刚进入磁场时的速度，由E=BLv求线框产生的感应电动势，再求解gh两点间的电压U．
（2）由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式求解．
（3）根据平衡条件求出线框刚出磁场时的速度，再由能量守恒定律求电热Q．

解答 解：（1）线框的gh边刚进入磁场时的速度 v=$\sqrt{2gd}$
gh边产生的感应电动势 E=BLv
gh两点间的电压 U=$\frac{3}{4}$E=$\frac{3}{4}$BL$\sqrt{2gd}$
（2）线框进入磁场的过程中通过线框导线截面的电量 q=$\overline{I}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{R}$=$\frac{B{L}^{2}}{R}$
（3）设线框的gh边刚出磁场的速度为v′．
由于线框匀速运动，则由平衡条件有 mg=BIL
又 I=$\frac{BLv′}{R}$
可得 v′=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
对两个过程，由能量守恒定律得
   mg•3d=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$+Q
解得 Q=3mgd-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）线框的gh边刚进入磁场时gh两点间的电压U是$\frac{3}{4}$BL$\sqrt{2gd}$；
（2）线框进入磁场的过程中通过线框导线截面的电量q是$\frac{B{L}^{2}}{R}$；
（3）线框穿越磁场的全过程中产生的电热Q是3mgd-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题是电磁感应与电路、力学相结合的题目，分析清楚线框运动过程，灵活推导出安培力与速度的关系、电量与磁通量变化的关系是关键．