Question

14．太空望远镜可以搜寻遥远星系中的“宜居”类地外行星，现发现某颗“宜居”外行星（可看成均匀球体）的自转周期为T，赤道半径为R，进一步计算发现该行星的同步卫星轨道距其表面高度为2R，已知万有引力常量为G，以下说法中正确的是（　　）

• A． 该行星质量为M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 该行星质量为M=$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． 该行星第一宇宙速度大小为$\frac{6\sqrt{3}πR}{T}$
• D． 该行星第一宇宙速度大小为$\frac{4\sqrt{2}πR}{T}$

Answer 1

分析 根据同步卫星所受的万有引力提供向心力可求出行星的质量，求出行星的近地卫星的线速度即该行星的第一宇宙速度；

解答 解：AB、根据题意，该行星的同步卫星的周期即等于自转周期T，轨道半径为：r=R+h=R+2R=3R
根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（3R）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{108{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故AB错误；
CD、该行星的第一宇宙速度即近地卫星的线速度，根据$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得：
$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{G•\frac{108{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{R}}$=$\frac{6\sqrt{3}πR}{T}$，故C正确，D错误；
故选：C

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．