Question

13．水星最接近太阳，是太阳系中的第二个小行星，水星的质量相当于地球质量的$\frac{1}{20}$，由于水星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动的轨道半径的0.4倍（水星轨道和地球轨道都可以近似地看成圆轨道），所以水星上的“一年”比地球上的“一年”短得多．求：
（1）太阳对水星的引力和太阳对地球的引力之比．
（2）水星上的“一年”是地球上的“一年”的多少倍．

Answer 1

分析 1、太阳对行星的万有引力为$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$，由于GM不变，所以$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$∝$\frac{m}{{r}^{2}}$，根据水星和地球的质量之比和轨道半径之比，计算F之比即可．
2、太阳对行星的万有引力等于向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，根据水星和地球的轨道半径之比，即可计算它们的周期之比．

解答 解：（1）太阳对行星的引力为$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$∝$\frac{m}{{r}^{2}}$
所以得$\frac{{F}_{水星}}{{F}_{地球}}=\frac{{m}_{水星}{{r}_{地球}}^{2}}{{m}_{地球}{{r}_{水星}}^{2}}$=$\frac{1}{20}×（\frac{1}{0.4}）^{2}$=$\frac{5}{16}$
（2）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
则$\frac{{T}_{水星}}{{T}_{地球}}=（\frac{{r}_{水星}}{{r}_{地球}}）^{\frac{3}{2}}$=$（{0.4）}^{\frac{3}{2}}$=0.25
答：（1）太阳对水星的引力和太阳对地球的引力之比为$\frac{5}{16}$．
（2）水星上的“一年”是地球上的“一年”的0.25倍．

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，并能根据题意选择恰当的向心力的表达式．