Question

13．如图所示，边长为L的正方形区域abcd内有垂直向外的匀强磁场，磁感应强度为B．现有一质量为m，电荷量为+q的粒子从a点沿ab方向以一定的初速度进入磁场，恰好从d点飞出，不计粒子重力．
（1）求粒子的初速度大小；
（2）若保持粒子的初速度方向不变，只改变粒子的速度大小仍从a点进入磁场，粒子从bc边的p点射出，且bP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．求粒子在磁场中的运动时间．

Answer 1

分析 （1）粒子进入磁场中做匀速圆周运动，由几何知识求得轨迹半径，再由牛顿第二定律求解初速度．
（2）画出轨迹，由几何知识求得轨迹半径和轨迹对应的圆心角，即可求得时间．

解答 解：（1）粒子进入磁场中做匀速圆周运动，依题意，由几何关系得粒子的运动轨迹半径 r₁=$\frac{L}{2}$      
根据牛顿第二定律得 qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$     ①
可得 v₁=$\frac{qBL}{2m}$            
（2）粒子运动轨迹如图所示，由几何关系得：
  ${r}_{2}^{2}$=$（{r}_{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}L）^{2}$+L²  ②
可得 r₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L
又设轨迹的圆心角为θ，则sinθ=$\frac{L}{{r}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=60°  ③
粒子在磁场中的运动周期 T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$   ④
粒子在磁场中的运动时间 t=$\frac{θ}{360°}$T   ⑤
解得 t=$\frac{πm}{3qB}$
答：
（1）粒子的初速度大小是$\frac{qBL}{2m}$．
（2）粒子在磁场中的运动时间是$\frac{πm}{3qB}$．

点评 解决带电粒子在磁场中圆周运动的问题，画出轨迹，运用几何知识求解轨迹半径是解题的关键．