Question

【题目】如图所示，两根相距为L的光滑平行金属导轨CD、EF固定在水平面内，并处在竖直向下的匀强磁场中，导轨足够长且电阻不计。在导轨的左端接入阻值为R的定值电阻，将质量为m、电阻可忽略不计的金属棒MN垂直放置在导轨上，可以认为MN棒的长度与导轨宽度相等，且金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，不计空气阻力。金属棒MN以恒定速度v向右运动过程中，假设磁感应强度大小为B且保持不变，为了方便，可认为导体棒中的自由电荷为正电荷。

（1）请根据法拉第电磁感应定律，推导金属棒MN中的感应电动势E；

（2）在上述情景中，金属棒MN相当于一个电源，这时的非静电力与棒中自由电荷所受洛伦兹力有关。请根据电动势的定义，推导金属棒MN中的感应电动势E。

（3）请在图中画出自由电荷所受洛伦兹力示意图。我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功。那么，金属棒MN中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中起到作用的呢？请结合图中自由电荷受洛伦兹力情况，通过计算分析说明。

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）见解析

【解析】

(1)先求出金属棒MN向右滑行的位移,得到回路磁通量的变化量 ,再由法拉第电磁感应定律求得E的表达式;
(2)棒向右运动时,电子具有向右的分速度,受到沿棒向下的洛伦兹力，,棒中电子在洛伦兹力的作用下,电子从M移动到N的过程中,非静电力做功,根据电动势定义计算得出E.

（3）可以从微观的角度求出水平和竖直方向上的洛伦兹力做功情况，在比较整个过程中做功的变化状况。

（1）如图所示，在一小段时间t内，金属棒MN的位移

这个过程中线框的面积的变化量

穿过闭合电路的磁通量的变化量

根据法拉第电磁感应定律

解得

（2）如图所示，棒向右运动时，正电荷具有向右的分速度，受到沿棒向上的洛伦兹力

，f1即非静电力

在f的作用下，电子从N移动到M的过程中，非静电力做功

根据电动势定义

解得

（3）自由电荷受洛伦兹力如图所示。

设自由电荷的电荷量为q，沿导体棒定向移动的速率为。

如图所示，沿棒方向的洛伦兹力，做正功

垂直棒方向的洛伦兹力，做负功

所以，即导体棒中一个自由电荷所受的洛伦兹力做功为零。

做正功，将正电荷从N端搬运到M端，相当于电源中的非静电力，宏观上表现为“电动势”，使电源的电能增加；做负功，宏观上表现为安培力做负功，使机械能减少。大量自由电荷所受洛伦兹力做功的宏观表现是将机械能转化为等量的电能，在此过程中洛伦兹力通过两个分力做功起到“传递”能量的作用。