Question

9．如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A．一质量为m的小球在水平地面上的C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆轨道
运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点（图中未画出）．已知A、C间的距离为L，重力加速度为g．
（1）为使小球能运动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值R_m；
（2）轨道半径R多大时，小球在水平地面上的落点D到A点的距离最大？最大距离x_m是多少？

Answer 1

分析 （1）当小球恰好到达最高点时，轨道半径最大，根据动能定理和牛顿第二定理求出轨道半径的最大值．
（2）根据动能定理求出最高点的速度表达式，结合平抛运动的规律得出水平位移的表达式，通过数学知识分析求解．

解答 解：（1）当小球恰好到达最高点时，轨道半径最大，根据牛顿第二定律有：
$mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{{R}_{m}}$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{g{R}_{m}}$，
根据动能定理得：$FL-2mg{R}_{m}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，
解得：${R}_{m}=\frac{2FL}{5mg}$．
（2）根据动能定理得：$FL-2mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2FL-4mgR}{m}}$，
设小球平抛运动的时间为t，在竖直方向上有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：t=$2\sqrt{\frac{R}{g}}$，
水平位移为：x=$vt=\sqrt{\frac{2FL-4mgR}{m}}•2\sqrt{\frac{R}{g}}$=$\sqrt{\frac{（2FL-4mgR）（4mgR）}{{m}^{2}{g}^{2}}}$，
当2FL-4mgR=4mgR时，水平位移最大，得R=$\frac{FL}{4mg}$，
最大距离${x}_{m}=4R=\frac{FL}{mg}$．
答：（1）轨道半径的最大值为$\frac{2FL}{5mg}$；
（2）轨道半径R为$\frac{FL}{4mg}$时，小球在水平地面上的落点D到A点的距离最大，最大距离为$\frac{FL}{mg}$．

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是关键，本题对数学知识能力要求较高，需加强这方面的训练．