Question

15．如图所示，在直角坐标系xOy中，有一匀强磁场均匀分布在半径为R的圆内，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，其中OD是圆的直径，在y轴左侧空间平行于在y轴的匀强电场，有一质量为m．带电量为q的带正电粒子，在x轴上的A点，以大小为v₀，方向与场强方向成θ角射入匀强电场，经电场偏转后垂直y轴上的P点射出，P点坐标为（0，0.6R），经过一段时间后进入磁场区域，若带电粒子在磁场中运动的时间是其在磁场运动周期的$\frac{1}{4}$，（粒子重力不计）．求：
（1）匀强电场的场强E及A点的坐标；
（2）匀强磁场的磁感应强度B；
（3）带电粒子从A点射入到偏转出磁场的过程中运动的总时间T．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，将速度分解为水平速度和竖直速度，根据运动的合成与分解规律可求得E及坐标；
（2）带电粒子在圆形磁场中做圆周运动，由几何关系确定圆心和半径，则由洛仑兹力充当向心力可求得B；
（3）粒子经历了三个运动过程，分别求得三个过程的时间，即可求得总时间．

解答 解：（1）设粒子在匀强电场中运动时间为t₁，A点的坐标为：（-x，0），在平行于y轴方向上的速度满足：v₀cosθ=$\frac{Eq}{m}{t}_{1}$；
平行于y方向的位移：0.6R=$\frac{{V}_{0}cosθ}{2}{t}_{1}$
x方向的位移：x=（v₀sinθ）t
联立解得：E=$\frac{5m（{v}_{0}cosθ）^{2}}{6qR}$，x=$\frac{6Rtanθ}{5}$
所以，A点的坐标为（-$\frac{6Rtanθ}{5}$，0）；
（2）如图所示，粒子从H点垂直射入匀强磁场做$\frac{1}{4}$圆周运动的半径为r；
在△HMC中，有：MC²+HM²=R²
解得：MC=0.8R
在△CKF中有：（r-0.6R）²+（r-0.8R）²=R²
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力充当向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{5m{v}_{0}sinθ}{7qR}$；
（3）带电粒子在电场中的运动时间为t₁=$\frac{6R}{5{v}_{0}cosθ}$
匀速运动的时间t₂=$\frac{R}{5{v}_{0}sinθ}$
在磁场中运动的时间t₃=$\frac{T}{4}$=$\frac{7πR}{10{v}_{0}sinθ}$
故总时间t=t₁+t₂+t₃=$\frac{6R}{5{v}_{0}cosθ}$+$\frac{R}{5{v}_{0}sinθ}$+$\frac{7πR}{10{v}_{0}sinθ}$=$\frac{6R}{5{v}_{0}cosθ}$+$\frac{（2+7π）R}{10{v}_{0}sinθ}$
答：（1）匀强电场的场强E为$\frac{5m（{v}_{0}cosθ）^{2}}{6qR}$及A点的坐标为（-$\frac{6Rtanθ}{5}$，0）；
（2）匀强磁场的磁感应强度B为$\frac{5m{v}_{0}sinθ}{7qR}$；
（3）带电粒子从A点射入到偏转出磁场的过程中运动的总时间为T$\frac{6R}{5{v}_{0}cosθ}$+$\frac{（2+7π）R}{10{v}_{0}sinθ}$．

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动，难点在于几何关系的把握，要注意正确作图并用好几何关系．