Question

4．如图所示，一个质量为m的物体放在倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ．现对物体施一水平推力，试分析：（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（1）推力F为多少时，物体将不受摩擦力？
（2）要使物体静止在斜面上，水平推力F应满足什么条件？
（3）要使物体在斜面上匀速运动，水平推力F应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）以物体为研究对象进行力的分析，如果没有摩擦力，则物体只受到重力、支持力和水平推力作用，根据共点力的平衡条件进行解答；
（2）若物体恰好不下滑，摩擦力方向沿斜面向上，若物体恰好不上滑，摩擦力方向沿斜面向下．分别针对两种情况，运用平衡条件和正交分解法，求出F的两个值，从而求出范围；
（3）对物体进行力的分析，若物体恰好沿斜面匀速下滑和物体恰好沿斜面上滑，分别针对两种情况，运用平衡条件和正交分解法，求出F的两个值即可．

解答 解：（1）以物体为研究对象进行受力分析如图1所示，根据共点力的平衡条件可得：
水平方向：F=Nsinθ，
竖直方向：Ncosθ=mg，
联立解得：F=mgtanθ；
因为μ＜tanθ，则F=0时，物体不能静止在斜面上，
（2）若物体恰好不下滑，也就是F较小时，摩擦力方向将沿斜面向上，如图2所示，
根据受力分析和平衡条件有：
沿斜面方向上：F cosθ+f=mgsinθ，
垂直于斜面方向上：Fsinθ+mgcosθ=F_N，
当摩擦力达到最大静摩擦力，即f=μF_N时，推力F最小．F_min=$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}$mg，
若物体恰好不上滑，也就是F较大时，摩擦力方向将沿斜面向下，如图3所示，
根据受力分析和平衡条件有：
沿斜面方向上：F cosθ=f+mgsinθ，
垂直斜面方向上：Fsinθ+mgcosθ=F_N，
当摩擦力达到最大静摩擦力，即f=μF_N时，推力F最大．F_max=$\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}$mg，
则水平推力F的取值范围为：$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}$mg＜F＜$\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}$mg．
（3）若物体恰好沿斜面向下做匀速直线运动，根据受力分析和平衡条件有：
沿斜面方向上：F cosθ+f=mgsinθ，
垂直于斜面方向上：Fsinθ+mgcosθ=F_N，
f=μF_N时，
解得F=$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}$mg，
若物体恰好沿斜面上滑，摩擦力方向将沿斜面向下，根据受力分析和平衡条件有：
沿斜面方向上：F cosθ=f+mgsinθ，
垂直斜面方向上：Fsinθ+mgcosθ=F_N，
而f=μF_N，
解得：F=$\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}$mg，
则水平推力F的大小为：$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}$mg或 $\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}$mg．
答：（1）推力F为mgtanθ时，物体将不受摩擦力作用；
（2）要使物体静止在斜面上，水平推力F应满足什么条件为$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}$mg＜F＜$\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}$mg；
（3）要使物体在斜面上匀速运动，水平推力F应为$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}$mg或 $\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}$mg．

点评 本题主要是考查了共点力的平衡问题，解答此类问题的一般步骤是：确定研究对象、进行受力分析、利用平行四边形法则进行力的合成或者是正交分解法进行力的分解，然后在坐标轴上建立平衡方程进行解答．