Question

18．在现代科学实验室中，经常用磁场来控制带电粒子的运动．有这样一个仪器的内部结构简化如图：1、2两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直于纸面．一质量为m、电量为-q，重力不计的粒子，粒子以速度V平行于纸面射入1区，射入时速度与水平方向夹角θ=30°．
（1）当1区磁感应强度大小B₁=B₀时，粒子从1区右边界射出时速度与竖直边界方向夹角为60°，求B₀及粒子在1区运动的时间t．
（2）若2区B₂=B₁=B₀，求粒子在1区的最高点与2区的最低点之间的高度差h．
（3）若B₁=B₀，为使粒子能返回1区，求B₂应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）画出轨迹，由几何知识求出半径，根据牛顿定律求出B₀．找出轨迹的圆心角，求出时间．
（2）由几何知识求出高度差．
（3）当粒子在区域Ⅱ中轨迹恰好与右侧边界相切时，粒子恰能返回Ⅰ区．由几何知识求出半径，由牛顿定律求出B₂满足的条件．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示：
由几何知识得：L=2R₁sinθ，
由牛顿第二定律得：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：B₀=$\frac{mv}{qL}$；
设粒子在磁场Ⅰ区中做圆周运动的周期：T=$\frac{2π{R}_{1}}{v}$=$\frac{2πL}{v}$，
粒子的运动的时间：t=$\frac{2θ}{360}$T=$\frac{2×30°}{360°}$T=$\frac{πL}{3v}$；
（2）设粒子在磁场Ⅱ区做圆周运动的半径为R₂，
由牛顿第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
由几何知识可得：h=（R₁+R₂）（1-cosθ）+Ltanθ，
解得：h=（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）L；
（3）粒子恰好能能返回1区时的运动轨迹如图所示：
为使粒子能再次回到Ⅰ区，应满足：
R₂（1+sinθ）≤L，
由牛顿第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
由题意可知：B₂=B₁=B₀，解得：B₂≥$\frac{3mv}{2qL}$；
答：（1）当1区磁感应强度大小B₁=B₀时，粒子从1区右边界射出时速度与竖直边界方向夹角为60°，B₀为$\frac{mv}{qL}$，粒子在Ⅰ区运动的时间t为$\frac{πL}{3v}$．
（2）若2区B₂=B₁=B₀，粒子在1区的最高点与2区的最低点之间的高度差h为（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）L．
（3）若B₁=B₀，为使粒子能返回1区，B₂应满足的条件是B₂≥$\frac{3mv}{2qL}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的关键；本题的难点在于分析临界条件，粒子恰好穿出磁场时，其轨迹往往与边界相切．