Question

12．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设行星半径为R，其周期为T，引力常量为G，那么该行星的质量是多少？平均密度为多少？

Answer 1

分析 根据万有引力等于向心力，可以列式求解出行星的质量，进一步求出密度．

解答 解：飞船绕某一行星表面做匀速圆周运动，万有引力等于向心力：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
所以：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
$V=\frac{4π{r}^{3}}{3}$，
$ρ=\frac{M}{V}$，
解得：
$ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$．
答：该行星的质量是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；平均密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

点评 本题可归结为一个结论：环绕行星表面做圆周运动的卫星，其公转周期平方与行星平均密度的乘积是一个定则，即ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$