Question

4．如图，一束截面为圆形（半径R=0.8m）的平行紫光垂直射向一半径也为R的玻璃半球的平面，且可全部射到平面上，经折射后在屏幕S上形成一个圆形亮区．屏幕S至球心的距离为D=4m，不考虑光的干涉和衍射．
（I）若玻璃半球对紫色光的折射率为n=$\frac{5}{4}$，求圆形亮区的半径；
（Ⅱ）若有一细束紫光线在O点左侧与O相距0.4 $\sqrt{3}$m处的G点（图中未画出）垂直于半球平面从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置．（已知sin53°=0.8）

Answer 1

分析 （Ⅰ）光线沿直线从O点穿过玻璃，方向不变．紫光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕S上的点E，E点到亮区中心G的距离r就是所求最大半径，作出光路图，由光的折射定律结合数学几何知识求出圆形亮区的半径．
（Ⅱ）由全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，由几何知识求出入射光束在半球上表面的入射角，可判断出光线在半球上表面发生两次全反射，最终从半球平面垂直射出，由几何知识分析即可．

解答 解：（I）如图，紫光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕S上的点E，E点到亮区中心G的距离r就是所求最大半径．
设紫光的临界角为C，由全反射的知识可得：sinC=$\frac{1}{n}$
由数学知识可得：AB=RsinC=$\frac{R}{n}$
    OB=RcosC=R$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$
  BF=ABtanC=$\frac{R}{n\sqrt{{n}^{2}-1}}$
   GF=D-（OB+BF）=D-$\frac{nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
因为：$\frac{GE}{AB}$=$\frac{GF}{BF}$
则r_m=GE=AB$\frac{GF}{BF}$=D$\sqrt{{n}^{2}-1}$-nR
代入数据解得 r_m=2m
（II）紫光在距O点左侧0.4 $\sqrt{3}$m处的G点射入后，若在上表面的入射角为α．
由几何关系得：sinα=$\frac{0.4\sqrt{3}}{0.8}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 α=60°
由sinC=$\frac{1}{n}$知，sinC=$\frac{4}{5}$＜sinα，则得 α＞C，紫光线在玻璃砖内会发生三次全反射，最后由H点射出，如图所示，由反射定律和几何关系得：
  OH=OG=0.4 $\sqrt{3}$m．
射到H点的光有一部分被反射，沿原路返回到达G点射出． 
 
答：
（Ⅰ）圆形亮区的半径是2m．
（Ⅱ）此光线从玻璃砖射出点的位置在G点和O点右侧与O相距0.4 $\sqrt{3}$m处．

点评 本题考查了全反射规律以及反射定律的应用，正确作出光路图，灵活运用几何知识求解是关键．