Question

9．如图所示，MN、PQ为光滑平行的水平金属导轨，电阻R=3.0Ω，置于竖直向下的有界匀强磁场中，OO′为磁场边界，磁场磁感应强度B=1.0T，导轨间距L=1.0m，质量m=1.0kg的导体棒垂直置于导轨上且与导轨电接触良好，导体棒接入电路的电阻r=1.0Ω，t=0时刻，导体棒在F=1.0N水平拉力作用下从OO′左侧某处静止开始运动，t₀=2.0s时刻棒进入磁场，导体棒始终与导轨垂直．
（1）求t₀时刻回路的电功率P₀；
（2）求t₀时刻导体棒的加速度大小a；
（3）导体棒进入磁场后，改变拉力大小，使棒以（2）情况下的加速度a匀加速运动至t₁=4.0s时刻，已知t₀-t₁时间内拉力做功W=5.7J，求此过程回路中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律和运动学公式求出${t}_{0}^{\;}$时刻的速度，由E=BLv求出棒在${t}_{0}^{\;}$时刻的电动势，再由功率公式求出回路消耗的功率；
（2）根据闭合电路欧姆定律求出${t}_{0}^{\;}$时刻产生的感应电流，由安培力公式求出棒在${t}_{0}^{\;}$时刻受到的安培力，再根据牛顿第二定律求出棒在${t}_{0}^{\;}$时刻的加速度；
（3）根据运动学公式求出棒在${t}_{1}^{\;}$时刻的速度，根据动能定理即可求解回路产生的焦耳热；

解答 解：（1）设导体棒在进入磁场前运动的加速度为${a}_{0}^{\;}$，则
$F=m{a}_{0}^{\;}$
棒在${t}_{0}^{\;}$时刻速度  ${v}_{0}^{\;}={a}_{0}^{\;}{t}_{0}^{\;}$
棒在${t}_{0}^{\;}$时刻产生的电动势   $E=BL{v}_{0}^{\;}$
电功率    ${P}_{0}^{\;}=\frac{{E}_{\;}^{2}}{R+r}$
代入数据解得${P}_{0}^{\;}=1.0W$
（2）回路在${t}_{0}^{\;}$时刻产生的感应电流$I=\frac{E}{R+r}$
棒在${t}_{0}^{\;}$时刻受到的安培力${F}_{A}^{\;}=BIL$
根据牛顿定律有 $F-{F}_{A}^{\;}=ma$
代入数据解得$a=0.5m/{s}_{\;}^{2}$
（3）${t}_{1}^{\;}$时刻棒的速度$v={v}_{0}^{\;}+a（t-{t}_{0}^{\;}）$
由动能定理有$W+{W}_{A}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
$Q=-{W}_{A}^{\;}$
代入数据解得Q=3.2J
答：（1）t₀时刻回路的电功率${P}_{0}^{\;}$为1.0W；
（2）t₀时刻导体棒的加速度大小a为$0.5m/{s}_{\;}^{2}$；
（3）导体棒进入磁场后，改变拉力大小，使棒以（2）情况下的加速度a匀加速运动至t₁=4.0s时刻，已知t₀-t₁时间内拉力做功W=5.7J，此过程回路中产生的焦耳热Q为3.2J．

点评 本题是电磁感应与力学、电路相结合的综合题，分析清楚棒的运动过程、应用牛顿第二定律、E=BLv、闭合电路欧姆定律、安培力公式、动能定理即可正确解题．