Question

20．在真空中的xOy平面内，有一磁感强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场．过原点O的直线MN是磁场的边界，其斜率为k．在坐标原点O处有一电子源，能在xOy平面内朝某一方向向磁场发射不同速率的电子，电子的质量为m、电荷量为q，电子重力不计．
（1）若某一电子从MN上的A点离开磁场时的速度方向平行于x轴，AO的距离为L，求电子射入磁场时的速率；
（2）若在直线MN的右侧加一水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为E；保持电子源向磁场发射电子的速度方向不变，调节电子源，使射入磁场的电子速率在0和足够大之间均有分布．请画出所有电子第一次到达MN右侧最远位置所组成的图线；并通过计算求出任一电子第一次到达MN右侧最远位置的横坐标x和纵坐标y的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据带电粒子的速度与x轴平行且处入场点O与出场点A的距离为L，根据几何知识求解出其速度
（2）当带电粒子离开磁场进入电场后做匀减速运动，只有当带电粒子的速度与力的方向同线时位移最大即离开MN右侧最远

解答 解：（1）设直线MN与x轴正方向的夹角为θ，则$k=tanθ，sinθ=\frac{k}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…①
设从A点离开磁场的电子在磁场中运动的半径为r，由几何关系得$r=\frac{L}{2sinθ}$…②
电子射入磁场时的速率为v，根据牛顿第二定律$qvB=m\frac{v^2}{r}$…③
联立①②③得$v=\frac{{qBL\sqrt{1+{k^2}}}}{2mk}$…④
（2）曲线如图所示

所有电子从MN上的点离开磁场时速度方向都平行于x轴，电子进入电场作匀减速直线运动，设曲线上的点P（x，y）
电子匀减速直线运动的加速度为$a=\frac{qE}{m}$…⑤
根据运动学公式得${v^2}=2a（x-\frac{y}{k}）$…⑥
根据几何关系得${（\frac{y}{k}）^2}+{（r-y）^2}={r^2}$…⑦
$qvB=m\frac{v^2}{r}$…⑧
联立⑤⑥⑦⑧解得$x=\frac{y^2}{k'}+\frac{y}{k}$（其中$k'=\frac{{8{k^4}mE}}{{{{（1+{k^2}）}^2}q{B^2}}}$）
答：
（1）电子射入磁场时的速率为$v=\frac{{qBL\sqrt{1+{k^2}}}}{2mk}$
（2）图线见解析，横坐标x和纵坐标y的关系式为$x=\frac{y^2}{k'}+\frac{y}{k}$（其中$k'=\frac{{8{k^4}mE}}{{{{（1+{k^2}）}^2}q{B^2}}}$）

点评 （1）明确带电粒子在磁场中运动轨迹是解决问题的关键，根据几何知识找L与轨道半径r的关系结合带电粒子在磁场中运动时轨道半径的计算公式即可求出带电粒子的速度
（2）电子第一次到达MN右侧最远位置的条件时带电粒子离开磁场时速度与电场方向同线，带电粒子进入电场后做匀减速直线，根据运动学公式可求出横坐标与纵坐标的关系