Question

8．如图所示，光滑的轻质定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为2m的重物，另一端系一质量为m、电阻为R的金属杆，在竖直平面内有足够长的平行金属导轨PQ、EF，其间距为L，在Q、F之间连接有阻值为R的电阻，其余电阻不计，一匀强磁场与导轨平面垂直，磁感应强度为B₀，开始时金属杆置于导轨下端QF处，将重物由静止释放，当重物下降h时恰好达到稳定速度而后匀速下降，运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，不计一切摩擦和接触电阻，重力加速度为g，求：
（1）重物匀速下降时的速度v；
（2）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的热量Q；
（3）设重物下降h时的时刻t=0，此时速度为v₀，若从t=0开始，磁场的磁感应强度B逐渐减小，且金属杆中始终不产生感应电流，试写出B随时间t变化的关系．

Answer 1

分析 （1）重物匀速下降时，金属杆匀速上升，受力平衡．推导出安培力，由平衡条件列式求出速度v．
（2）重物从释放到下降h的过程中，重物的重力势能减小转化为杆的重力势能和动能、重物的动能及整个回路的内能，根据能量守恒求出整个回路产生的焦耳热，根据串联电路电流关系，求出电阻R中产生的焦耳热Q_R；
（3）当回路中总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，此时棒将导轨做匀加速运动．根据磁通量不变，列式求B与t的关系式．

解答 解：（1）重物匀速下降时，设细线对金属杆的拉力为T，金属杆所受安培力为F
由平衡条件得T=mg+F
由安培力公式得$F={B}_{0}^{\;}IL$
根据闭合电路欧姆定律，$I=\frac{E}{R+R}$
根据法拉第电磁感应定律，$E={B}_{0}^{\;}Lv$
对重物由平衡条件得T=2mg
综合上述各式，解得：$v=\frac{2mgR}{{B}_{0}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
（2）设电路中产生的总热量为Q，由能量守恒定律得
2mgh-mgh=$\frac{1}{2}（2m）{v}_{\;}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$+Q
由串联电路特点知，电阻R中产生的热量为
${Q}_{R}^{\;}=\frac{1}{2}Q$
则${Q}_{R}^{\;}=\frac{1}{2}mgh$-$\frac{3{m}_{\;}^{3}{g}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{{B}_{0}^{4}{L}_{\;}^{4}}$
（3）金属杆中恰好不产生感应电流时，磁通量不变，则有
${Φ}_{0}^{\;}={Φ}_{t}^{\;}$
即${B}_{0}^{\;}hL=B（h+x）L$
式中$x={v}_{0}^{\;}t+\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
对系统，由牛顿第二定律得
$a=\frac{2mg-mg}{2m+m}=\frac{g}{3}$
则磁感应强度B随时间t变化的关系为
$B=\frac{{B}_{0}^{\;}h}{h+{v}_{0}^{\;}t+\frac{g}{6}{t}_{\;}^{2}}=\frac{6{B}_{0}^{\;}h}{6h+6{v}_{0}^{\;}t+g{t}_{\;}^{2}}$
答：（1）重物匀速下降时的速度v为$\frac{2mgR}{{B}_{0}^{2}{L}_{\;}^{2}}$；
（2）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的热量Q为$\frac{1}{2}mgh-\frac{3{m}_{\;}^{3}{g}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{{B}_{0}^{4}{L}_{\;}^{4}}$；
（3）设重物下降h时的时刻t=0，此时速度为v₀，若从t=0开始，磁场的磁感应强度B逐渐减小，且金属杆中始终不产生感应电流，试写出B随时间t变化的关系
B=$\frac{6{B}_{0}^{\;}h}{6h+6{v}_{0}^{\;}t+g{t}_{\;}^{2}}$

点评 本题分别从力和能量两个角度研究电磁感应现象，关键是计算安培力和分析能量如何变化，以及把握没有感应电流产生的条件．