Question

如图所示，半径R=0.8m的光滑

1

4

圆弧轨道固定在水平地面上，O为该圆弧的圆心，轨道上方的A处有一个可视为质点的质量m=1kg的小物块，小物块由静止开始下落后恰好沿切线进入

1

4

圆弧轨道．此后小物块将沿圆弧轨道下滑，已知AO连线与水平方向的夹角θ=45°，在轨道末端C点紧靠一质量M=3kg的长木板，木板上表面与圆弧轨道末端的切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，g取10m/s²．求：
（1）小物块刚到达C点时的速度大小；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为多少？

Answer 1

（1）小物块从A到C，根据机械能守恒有：
mg?2R=

1

2

mv

2C

，
解得：v_C=

4gR

=

4×10×0.8

m/s=4

2

m/s．
（2）小物块刚要到C点，由牛顿第二定律有：
F_N-mg=

m v 2C

R

，
解得：F_N=mg+

m v 2C

R

=1×10+

1×(4 2 )2

0.8

N=50N．
由牛顿第三定律，小物块对C点的压力F_N′=50N，方向竖直向下．
（3）设小物块刚滑到木板右端时达到共同速度，大小为v，小物块在长木板上滑行过程中，小物块与长木板的加速度分别为
a_m=

μmg

m

a_M=

μmg

M

由运动学公式得：v=v_C-a_mt，v=a_Mt
由能量守恒定律得：-μmgL=

1

2

（M+m）v²-

1

2

mv

2C

联立解得：L=4m．
答：（1）小物块刚到达C点时的速度大小为4

2

m/s；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力为50N；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为4m．