Question

2．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度
（2）该星球的质量
（3）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据竖直上抛运动规律求得地球表面的重力加速度；
（2）运用重力等于万有引力列式可以求得星球的质量；
（3）运用重力提供卫星的圆周运动的向心力列式可求得第一宇宙速度的大小．

解答 解：（1）根据竖直上抛运动规律可知，小球上抛运动时间：t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$；
可得星球表面重力加速度：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）在星球表面，重力等于万有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$；
（3）重力提供向心力，故：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
该星球的第一宇宙速度：
v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$；
答：（1）该星球表面的重力加速度为$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）该星球的质量为$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$；
（3）该星球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．

点评 本题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力，掌握竖直上抛运动规律是正确解题的关键．