Question

20．如图所示，轨道的AB段为一半径R=0.2m的光滑$\frac{1}{4}$圆形轨道，BC段是倾角为α=37°，高h=0.5m的斜面．一质量为0.1kg的小球由A点从静止开始下滑，离开B点后做平抛运动（g取10m/s²），求：
（1）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小？
（2）小球在BC轨道上的落地点到C的距离？

Answer 1

分析 （1）A到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒求出小球到达B点的速度大小．根据牛顿第二定律和第三定律结合求解压力．
（2）根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出水平距离，再根据几何关系求出落到到C点的距离．

解答 解：（1）小球从A点运动到B点的过程机械能守恒，即$\frac{1}{2}$mv_B²=mgR 
则得 v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s．
在B点，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立解得：N=3mg=3×0.1×10N=3N
由牛顿第三定律得知小球到达B点时对圆形轨道的压力大小 N′=N=3N
（2）设小球离开B点做平抛运动的时间为t，落地点到C点距离为s
由h=$\frac{1}{2}$gt₁² 得：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.5}{10}}$s=0.316s．
s=v_Bt=2×0.316m=0.632m；
因此小球将落到斜面上，不能利用高度h求解，根据平抛运动规律可知：
$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{vt}=tan37°$
解得：t=0.3m；
下落的竖直高度h'=$\frac{1}{2}$gt²=0.45m；
由几何关系可知，落到到C点的距离为：L=$\frac{h-h′}{sin37°}$=$\frac{0.5-0.45}{0.6}$=0.083m
答：
（1）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小是3N．
（2）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的距离是0.083m

点评 本题考查了机械能守恒、圆周运动和平抛运动的规律，平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动来求解．