Question

13．如图1所示，将一顶端带有光滑定滑轮的斜面固定在一水平桌面上，斜面光滑，其倾角为α=30°，长度为L，质量均为m的可视为质点的滑块甲乙用一跨过定滑轮的细线相连．开始滑块甲位于斜面的顶端O点，滑块乙在水平桌面下方$\frac{L}{2}$处．以水平桌面为重力势能零势能面．现在滑块甲上施加一沿斜面向下的恒力F，使滑块甲由静止开始沿斜面向下运动，滑块乙的机械能E随滑块甲沿斜面向下运动的距离x变化规律如图2所示，重力加速度为g，求

（1）释放滑块的瞬间，滑块乙所具有的机械能E₁；
（2）当滑块甲运动到斜面底端，滑块乙所具有的机械能E₂
（3）滑块甲上施加的沿斜面向下的恒力F的大小．

Answer 1

分析 （1）释放滑块的瞬间，滑块乙的动能是0，所具有的机械能等于它的重力势能；
（2）由图中的几何关系，即可求出当滑块甲运动到斜面底端，滑块乙所具有的机械能E₂
（3）根据功能关系，求出绳子拉乙的作用力的大小，然后由牛顿第二定律求出乙的加速度；再对甲进行受力分析，结合牛顿第二定律即可求出滑块甲上施加的沿斜面向下的恒力F的大小．

解答 解：（1）释放滑块的瞬间，滑块乙的动能是0，所具有的机械能等于它的重力势能，所以E₁=$-mg•\frac{L}{2}$
（2）由图2可知，两个三角形为相似三角形，所以：$\frac{{E}_{2}}{{|E}_{1}|}=\frac{L-\frac{L}{4}}{\frac{L}{4}}=3$
所以滑块乙所具有的机械能：E₂=3|E₁|=$\frac{3}{2}mgL$
（3）在乙上升的过程中，绳子的拉力F₁对乙做的功等于乙的机械能的增加，所以：${F}_{1}•L=△{E}_{B}={E}_{2}-{E}_{1}=\frac{3}{2}mgL-（-\frac{1}{2}mgL）=2mgL$
所以：F₁=2mg．
乙上升时的加速度：$a=\frac{{F}_{1}-mg}{m}=\frac{2mg-mg}{m}=g$
由于甲与乙在同一根绳子的两端，所以甲与乙的加速度的大小是相等的，所以甲的加速度的大小也是g，对甲进行受力分析如图，则沿斜面的方向：

F+mgsin30°-F₁=ma
所以：F=2.5mg
答：（1）释放滑块的瞬间，滑块乙所具有的机械能是$-\frac{1}{2}mgL$；
（2）当滑块甲运动到斜面底端，滑块乙所具有的机械能是$\frac{3}{2}mgL$；
（3）滑块甲上施加的沿斜面向下的恒力F的大小是2.5mg．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，运用牛顿第二定律和运动学公式进行求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁，掌握整体法和隔离法的运用．