Question

12．某同学利用如图甲所示的装置验证动能定理．固定并调整斜槽，使它的末端O点的切线水平，在水平地面上依次铺放好木板、白纸、复写纸．将小球从斜槽上不同的标记点由静止释放，记录小球到达斜槽底端时下落的高度H，并根据落点位置测量出小球平抛的水平位移x，改变小球在斜槽上的释放位置，进行多次测量，记录数据如下：

高度H（h为单位长度）	h	2h	3h	4h	5h	6h	7h	8h	9h
水平位移x（cm）	5.5	9.1	11.7	14.2	15.9	17.6	19.0	20.6	21.7

（1）斜槽倾角为θ，小球与斜槽之间的动摩擦因数为μ，斜槽底端离地的高度为y，不计小球与水平槽之间的摩擦，若小球从斜槽上滑下的过程中动能定理成立，则应满足的关系式是${x}^{2}=4（1-\frac{μ}{tanθ}）yH$．

（2）以H为横坐标，以x²为纵坐标，在坐标纸上描点作图，如图乙所示；
（3）由第（1）（2）问，可以得出结论在误差允许范围内，小球运动到斜槽低端的过程中，合力对小球所做的功等于小球动能的增量．
（4）受该实验方案的启发，另一同学改用图丙的装置实验．他将木板竖直放置在斜槽末端的前方某一固定位置，仍将小球从不同的标记点由静止释放，记录小球到达斜槽底端时下落的高度H，并测量小球击中木板时平抛下落的高度d，当他以H为横坐标，以$\frac{1}{d}$为纵坐标，描点作图，使之仍为一条倾斜的直线，也达到了同样的目的．

Answer 1

分析 （1）小球在斜槽上滑下过程中，重力和摩擦力做功，写出合力做的功．根据平抛运动的规律求出小球离开斜槽时的速度，得到动能的变化．即可写出动能定理的关系式．
（2）根据动能定理表达式，选择纵坐标．
（3）根据图象的形状分析并得出结论．
（4）根据平抛运动的规律得到v与d的关系式，再由动能定理求得H与$\frac{1}{d}$的关系式，根据解析式选择纵坐标．

解答 解：（1）设小球离开斜槽时的速度为v，根据平抛运动的规律得：
x=vt，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立得：v=x$\sqrt{\frac{g}{2y}}$
小球在斜槽上滑下过程中，重力和摩擦力做功，则合力做的功为：
W=mgH-μmgcosθ•$\frac{H}{sinθ}$=mgH（1-$\frac{μ}{tanθ}$）
小球动能的变化量△E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{{x}^{2}}{4y}$
则小球从斜槽上滑下的过程中，动能定理若成立应满足的关系式是：
mgH（1-$\frac{μ}{tanθ}$）=mg$\frac{{x}^{2}}{4y}$，
即${x}^{2}=4（1-\frac{μ}{tanθ}）yH$，
（2）根据上题结果可知，以H为横坐标，以x²为纵坐标，在坐标纸上描点作图，如图乙所示；
（3）由第（1）（2）问，结合图象可得：在实验误差允许的范围内，小球运动到斜槽底端的过程中，合外力对小球所做的功等于动能的增量．
（4）根据平抛运动的规律有：v=$\frac{x}{t}=x\sqrt{\frac{g}{2d}}$，
则动能定理表达式为：mgH（1-$\frac{μ}{tanθ}$）=mg$\frac{{x}^{2}}{4d}$
所以以H为横坐标，以$\frac{1}{d}$为纵坐标，描点作图，使之仍为一条倾斜的直线，
故答案为：（1）${x^2}=4（1-\frac{μ}{tanθ}）yH$； （2）x²；（3）在误差允许范围内，小球运动到斜槽低端的过程中，合力对小球所做的功等于小球动能的增量；（4）$\frac{1}{d}$．

点评 本题关键利用平抛运动的知识求得小球到达斜槽的末速度，从而写出动能定理表达式，要能根据数学知识灵活选择坐标．