Question

如图所示，光滑水平面MN的左端M处有一弹射装置P(P为左端固定，处于压缩状态且锁定的轻质弹簧，当A与P碰撞时P立即解除锁定)，右端N处与水平传送带恰平齐且很靠近，传送带沿逆时针方向以恒定速率υ = 5m/s 匀速转动，水平部分长度L = 4m。放在水平面上的两相同小物块A、B（均视为质点）间有一被压缩的轻质弹簧，弹性势能E_p = 4J，弹簧与A相连接，与B不连接，A、B与传送带间的动摩擦因数μ = 0.2，物块质量m_A = m_B = 1kg。现将A、B由静止开始释放，弹簧弹开，在B离开弹簧时，A未与P碰撞，B未滑上传送带。取g = 10m/s²。求：

（1）B滑上传送带后，向右运动的最远处与N点间的距离sm；

（2）B从滑上传送带到返回到N端的时间t和这一过程中B与传送带间因摩擦而产生的热  能Q；

（3）B回到水平面后压缩被弹射装置P弹回的A上的弹簧，B与弹簧分离然后再滑上传送带。则P锁定时具有的弹性势能E满足什么条件，才能使B与弹簧分离后不再与弹簧相碰。

Answer 1

（1）弹簧弹开的过程中，系统机械能守恒

        E_p = m_Aυ_A² + m_Bυ_B²                      （1分）

    由动量守恒有   m_Aυ_A - m_Bυ_B = 0                 （1分）

    联立以上两式解得   υ_A = 2m/s     υ_B = 2m/s     （1分）

    B滑上传送带做匀减速运动，当速度减为零时，向右运动的距离最大。

    由动能定理得    - μm_Bgs_m = 0 - m_Bυ_B²           （1分）

    解得             s_m =  = 1m               （1分）

（2）物块B先向右做匀减速运动，直到速度减小到零，然后反方向做匀加速运动，      回到皮带左端时速度大小仍为υ_B = 2m/s                （1分）

由动量定理  - μm_Bgt = - m_Bυ_B - m_Bυ_B                   （1分）

解得         t =  = 2s                           （1分）

B向右匀减速运动因摩擦而产生的热能为

    Q₁ = μm_Bg(υ ·  + s_m)                             （1分）

B向左匀加速运动因摩擦而产生的热能为

    Q₂ = μm_Bg(υ ·  - s_m)                              （1分）

    Q = Q₁ + Q₂ = μm_Bgυt = 20J                       （1分）

（3）设弹射装置P将A弹开时的速度为υ_A′，则

     E = m_Aυ_A′² - m_Aυ_A²                           （2分）

B离开弹簧时，AB速度互换，B的速度   υ_B′ = υ_A′       （2分）

B与弹簧分离后不再与弹簧相碰，则B滑出平台Q端，由能量关系有

    m_Bυ_B′² > μm_B gL                                 （2分）

以上三式解得

     E > μm_A gL - m_Aυ_A²                             （2分）

代入数据解得     E> 6J                             （1分）