Question

16．如图所示，质量m_A=0.8kg、带电量q=-4×10^-3C的A球用长度l=0.8m的不可伸长的绝缘轻线悬吊在O点，O点右侧有竖直向下的匀强电场，场强E=5×10³N/C．质量m_B=0.2kg不带电的B球静止在光滑水平轨道上，右侧紧贴着压缩并锁定的轻质弹簧，弹簧右端与固定挡板连接，弹性势能为3.6J．现将A球拉至左边与圆心等高处释放，将弹簧解除锁定，B球离开弹簧后，恰好与第一次运动到最低点的A球相碰，并结合为一整体C，同时撤去水平轨道．A、B、C均可视为质点，线始终未被拉断，g=10m/s²．求：
（1）碰撞过程中A球对B球做的功
（2）碰后C第一次离开电场时的速度
（3）C每次离开最高点时，电场立即消失，到达最低点时，电场又重新恢复，不考虑电场瞬间变化产生的影响，求C每次离开电场前瞬间绳子受到的拉力．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求出A球摆到最低点的速度，由B球弹性势能转化为小球的动能求出B球碰前速度，根据系统动量守恒定律求出碰后整体的速度C，由动能定理即可求解碰撞过程A球对B球所做的功；
（2）碰后整体做类平抛运动，根据类平抛运动的规律求出绳子刚好拉直时的速度，再由动能定理求出碰后C第一次离开电场时的速度；
（3）根据动能定理和向心力的知识列式即可求解；

解答 解：（1）碰前A的速度
$\frac{1}{2}{m}_{A}^{\;}{v}_{A}^{2}={m}_{A}^{\;}gl$        
解得：${v}_{A}^{\;}=\sqrt{2gl}=\sqrt{2×10×0.8}m/s=4m/s$
碰前B的速度$E=\frac{1}{2}{m}_{B}^{\;}{v}_{B}^{2}$
解得：${v}_{B}^{\;}=\sqrt{\frac{2E}{{m}_{B}^{\;}}}=\sqrt{\frac{2×3.6}{0.2}}=6m/s$
由由动量守恒得：
${m}_{A}^{\;}{v}_{A}^{\;}-{m}_{B}^{\;}{v}_{B}^{\;}=（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）{v}_{AB}^{\;}$
代入数据：
$0.8×4-0.2×6=（0.8+0.2）{v}_{AB}^{\;}$
解得：${v}_{AB}^{\;}=2m/s$
A对B所做的功$W=\frac{1}{2}{m}_{B}^{\;}{v}_{AB}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{B}^{\;}{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.2×{2}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}×0.2×{6}_{\;}^{2}=-3.2J$
（2）碰后，整体受到电场力$F=qE=4×1{0}_{\;}^{-3}×5×1{0}_{\;}^{3}=20N$ 
$G={m}_{C}^{\;}g=（0.8+0.2）×10=10N$
因$F-{m}_{C}^{\;}g＞{m}_{C}^{\;}\frac{{v}_{\;}^{2}}{l}$，
小球做类平抛运动
水平方向上：
$x={v}_{C}^{\;}t$
竖直方向上：
$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
其中$a=\frac{qE-{m}_{C}^{\;}g}{{m}_{C}^{\;}}$=$\frac{20-10}{0.8+0.2}=10m/{s}_{\;}^{2}$
圆的方程：
$（y-l）_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}={l}_{\;}^{2}$
解得：x=0..8m         y=0.8m         t=0.4s
C刚好在圆心等高处绳子拉直
设此时C向上的速度为${v}_{1}^{\;}=at=10×0.4=4m/s$
设小球运动到最高点速度为${v}_{2}^{\;}$
由动能定理得：
$\frac{1}{2}{m}_{C}^{\;}{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{C}^{\;}{v}_{1}^{2}=（F-{m}_{C}^{\;}g）l$
代入数据：$\frac{1}{2}×1{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}×1×{4}_{\;}^{2}=（20-10）×0.8$
解得：${v}_{2}^{\;}=4\sqrt{2}$m/s=5.66m/s
（3）设小球从最高点运动到最低点时的速度为${v}_{3}^{\;}$得：
$\frac{1}{2}{m}_{C}^{\;}{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{C}^{\;}{v}_{2}^{2}={m}_{C}^{\;}g×2l$
代入数据：$\frac{1}{2}×1{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}×1×（4\sqrt{2}）_{\;}^{2}=1×10×2×0.8$
解得：${v}_{3}^{\;}=8m/s$
由$T+F-{m}_{C}^{\;}g={m}_{C}^{\;}\frac{{v}_{3}^{2}}{l}$
解得T=70N＞0，所以小球能一直做圆周运动
设经过最高点次数为n
$\frac{1}{2}{m}_{C}^{\;}{v}_{n}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{C}^{\;}{v}_{2}^{2}=（n-1）qE×2l$
$T+{m}_{C}^{\;}g-F≥{m}_{C}^{\;}\frac{{v}_{n}^{2}}{l}$
解得：$T=（80n-30）N\\;\\;\\;\$      n=1，2，3，…
答：（1）碰撞过程中A球对B球做的功为-3.2J
（2）碰后C第一次离开电场时的速度5.66m/s
（3）C每次离开电场前瞬间绳子受到的拉力为（80n-30）N（n=0、1、2…）．

点评 本题主要考查了动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律及功能关系的应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况及运动过程，难度较大．