Question

17．如图所示，位于竖直平面内的矩形金属线圈，边长L₁=0.40m、L₂=0.25m，其匝数n=100匝，总电阻r=1.0Ω，线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D（集流环）焊接在一起，并通过电刷和R=3.0Ω的定值电阻相连接．线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度B=1.0T，在外力驱动下线圈绕竖直固定中心轴O₁O₂匀速转动，角速度ω=2.0rad/s．求：
（1）电阻R的电功率；
（2）从线圈通过中性面（即线圈平面与磁场方向垂直的位置）开始计时，经过$\frac{1}{2}$周期通过电阻R的电荷量；
（3）在线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的焦耳热；
（4）在线圈转动一周的过程中，外力至少需要做的功．

Answer 1

分析 （1）根据E=nBSω求出感应电动势的最大值，从而求出感应电动势的有效值，根据欧姆定律求出感应电流的有效值，从而根据P=I²R求出电阻R消耗的电功率．
（2）根据法拉第电磁感应定律结合闭合电路欧姆定律求出平均感应电流，根据q=$\overline{I}△t$求出通过电阻R的电荷量．
（3）根据焦耳定律可求得转动一周过程中电阻R上产生的热量；
（4）线圈转动一周的过程中外力做的功，完全给电阻用来发热，因此由有效值来计算在一周发热量．

解答 解：（1）感应电动势最大值E_m=nBSω=100×1×0.4×0.25×2=20V
电流有效值$I=\frac{{{E_{有效}}}}{R+r}=\frac{E_m}{{\sqrt{2}（R+r）}}=\frac{20}{{\sqrt{2}（3+1）}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$A
电阻R的电功率P=I²R=37.5W
（2）平均感应电动势$\overline{E}$=$n\frac{△Φ}{△t}$
平均感应电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
通过定值电阻R的电荷量$q=\overline{I}•△t=n\frac{△Φ}{R+r}$
转动$\frac{1}{2}$周期磁通量的变化量△Φ=2BS
转动$\frac{1}{2}$周期时通过电阻R的电荷量：q=$n\frac{2BS}{R+r}$=100×$\frac{2×1×0.4×0.25}{3+1}$=5.0C
（3）电阻R上产生的焦耳热${Q_R}={I^2}RT=37.5π$J=118J
（4）在线圈转动一周的过程中，外力至少需要做的功，等于系统产生的焦耳热：$W={Q_总}={I^2}（R+r）T=50π$J=157J
答：（1）电阻R的电功率37.5W；
（2）从线圈通过中性面（即线圈平面与磁场方向垂直的位置）开始计时，经过$\frac{1}{2}$周期通过电阻R的电荷量为5C；
（3）在线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的焦耳热为118J；
（4）在线圈转动一周的过程中，外力至少需要做的功157J．

点评 解决本题的关键掌握感应电动势的平均值、最大值、有效值和瞬时值的区别以及应用．注意求电阻发热，则必须将交流电的有效值代入计算，求电量用电流的平均值．