Question

11．为了确定某星球的密度与地球密度的关系，宇航员在该星球表面做了一些测试，若测得该星球的自转周期为T，一探测器在该星球两极处所受的重力为P，在该星球赤道处所受的重力为kP（k＜1），假设该星球和地球均是质量分布均匀的球体，一卫星在地球表面附近绕地球做圆周运动的周期为nT（n＞1），则该星球密度与地球密度的比值为（　　）

• A． $\frac{{n}^{2}}{1-k}$
• B． $\frac{{n}^{2}}{1+k}$
• C． $\frac{n}{1-k}$
• D． $\frac{n}{1+k}$

Answer 1

分析 探测器在星球两极重力等于万有引力，在赤道万有引力和重力的合力提供向心力，根据这个关系列方程．

解答 解：设星球质量为M，探测器质量为m，星球半径为R，星球密度为ρ
在两极：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=P$…①
在赤道：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-KP=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}R$…②
由①②得：（1-k）$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=$m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}R$…③
又因为$M=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$…④
④代入③得：（1-k）$G\frac{ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}m}{{R}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}R$
化简得：$ρ=\frac{3π}{（1-k）G{T}_{\;}^{2}}$…⑤

根据万有引力提供向心力，卫星质量设m'，地球质量M'，地球半径R‘，设地球密度为ρ‘
$G\frac{M'm'}{R{'}_{\;}^{2}}=m'（\frac{2π}{nT}）_{\;}^{2}R'$…⑥
$M'=ρ'\frac{4}{3}πR{'}_{\;}^{3}$…⑦
联立⑥⑦式得：$ρ’=\frac{3π}{G{n}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$…⑧
$\frac{ρ}{ρ'}=\frac{{n}_{\;}^{2}}{1-k}$
故选：A

点评 本题综合考查了万有引力与圆周运动，记住卫星万有引力等于向心力，还有黄金代换重力等于万有引力等关系式，近地卫星模型轨道半径等于地球球半径．