Question

4．如图所示，质量为m，边长为l的正方形平板与弹簧相连，弹簧的劲度系数为k，另一端固定于地面，平板处于平衡状态．质量为m的第一个小球从平台以一定速度垂直于平板的左边缘水平抛出，并与平板发生完全非弹性碰撞（设平台与板间高度差为h，抛出点在平板的左边缘正上方）．隔一段时间后，以相同速度抛出第二个小球．（假定在任何情况下平板始终保持水平，忽略平板在水平方向上的运动，且为方便计算起见，设h=3$\frac{mg}{k}$）
（1）求第一个小球落到平台上形成的振子系统的周期和频率；
（2）在第二个小球能与平板不发生碰撞的情况下，其抛出速度的最小值为多少？
（3）在（2）的情况下，两小球抛出的时间差是多少？

Answer 1

分析 （1）根据弹簧振子的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，m是振子的质量，来求振子系统的周期，由f=$\frac{1}{T}$求频率．
（2）研究第一个球的运动过程：由平抛运动的规律求出小球落在木板上时竖直分速度，由动量守恒定律求出球与木板碰后的共同速度，从而得到振幅，根据旋转参考矢量与y轴负方向的夹角满足的条件求解．
（3）由下落的高度求出第一个小球下落到平板的时间．由简谐运动的规律求出碰撞后平板从原平衡位置压缩到最低位置的时间，结合周期性求解两小球抛出的时间差．

解答 解：（1）碰撞前后小球与平板（总质量为2m一起在新的平衡位置上下做简谐振动，如图中虚线所示，拢子系统的周期为 T=2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
振子系统的频率为 γ=$\frac{1}{T}$=$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{k}{2m}}$
（2）碰撞前，第一个小球在竖直方向的速度为 v_y=$\sqrt{2gh}$
发生完全弹性碰撞，竖直方向动量近似守恒，取向下为正方向，则有 mv_y=2mv_y′
则碰撞后平板运动的速度为 v_y′=$\frac{1}{2}{v}_{y}$=$\sqrt{\frac{1}{2}gh}$
振子的角频率ω=$\frac{2π}{T}$=$\sqrt{\frac{k}{m}}$
振子振幅为 A=$\sqrt{\frac{（{v}_{y}′）^{2}}{ω{\;}^{2}}+（\frac{mg}{k}）^{2}}$=2$\frac{mg}{k}$
 
旋转参考矢量与y轴负方向的夹角满足
  cosα=$\sqrt{\frac{mg}{mg+kh}}$=$\frac{1}{2}$，则 α=$\frac{π}{3}$
设析运动到最低点位置时第二个小球正好下落到这一高度，则第二个小球下落用时
   t=$\sqrt{\frac{2（h+\frac{mg}{k}+A）}{g}}$=2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$
由此可以求出两者不发生碰撞时，第二个小球的最小抛出速度为 v₀=$\frac{l}{t}$=$\frac{l}{6}$$\sqrt{\frac{3k}{m}}$
（3）第一个小球下落到平板用时 t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{6m}{k}}$
碰撞后平板从原平衡位置压缩到最低位置用时 t₂=$\frac{π-α}{ω}$=$\frac{2π}{3}$$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
设两球抛出的时间相差△t，则△t+t=t₁+t₂
则得△t=t₁+t₂-t=$\sqrt{\frac{6m}{k}}$+$\frac{2π}{3}$$\sqrt{\frac{2m}{k}}$+2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$
考虑到板往复一次用时T=2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$，第二个小球抛出时间可以是振子系统运动时间大于一个周期后，则两小球抛出的时间差为
△t=$\sqrt{\frac{6m}{k}}$+（2n+$\frac{2}{3}$）π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$+2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$（n取非负整数）
答：（1）第一个小球落到平台上形成的振子系统的周期为2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$，频率为$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{k}{2m}}$；
（2）在第二个小球能与平板不发生碰撞的情况下，其抛出速度的最小值为$\frac{l}{6}$$\sqrt{\frac{3k}{m}}$；
（3）在（2）的情况下，两小球抛出的时间差是$\sqrt{\frac{6m}{k}}$+（2n+$\frac{2}{3}$）π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$+2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$（n取非负整数）．

点评 解决本题时要分析小球和振子的运动情况，掌握振子的周期公式，明确简谐运动的周期性，关键要分析隐含的临界条件．