Question

如图所示，两根与水平面成θ=30°角的足够长光滑金属导轨平行放置，导轨间距为L=1m，导轨底端接有阻值为1Ω的电阻R，导轨的电阻忽略不计．整个装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度B=1T．现有一质量为m=0.2kg、电阻不计的金属棒用细绳通过光滑滑轮与质量为M=0.5kg的物体相连，细绳与导轨平面平行．将金属棒与M由静止释放，棒沿导轨运动了2m后开始做匀速运动．运动过程中，棒与导轨始终保持垂直接触．（取重力加速度g=10m/s²）求：
（1）金属棒匀速运动时的速度；
（2）棒从释放到开始匀速运动的过程中，电阻R上产生的焦耳热；
（3）若保持某一大小的磁感应强度B₁不变，取不同质量M的物块拉动金属棒，测出金属棒相应的做匀速运动的v值，得到实验图象如图所示，请根据图中的数据计算出此时的B₁；
（4）改变磁感应强度的大小为B₂，B₂=2B₁，其他条件不变，请在坐标图上画出相应的v-M图线，并请说明图线与M轴的交点的物理意义．

Answer 1

分析：（1）金属棒匀速运动时，受力平衡，绳子的拉力大小等于Mg，由平衡条件和安培力公式F_A=

B2L2v

R

求解速度．
（2）金属棒上滑的过程中，M的重力势能减小转化为m的重力势能、M和m的动能及电路中的内能，根据能量守恒定律求解电阻R上产生的焦耳热；
（3）由（1）中速度与质量的关系式，分析图象的斜率与截距的意义，求解B₁．
（4）对照图象斜率的意义，结合数学知识求解即可．

解答：解：（1）金属棒受力平衡，所以
  Mg=mgsinθ+BIL  ①
又I=

BLv

R

 ②
所求速度为：v=

(M-msinθ)gR

B2L2

=4 m/s
（2）对系统，由能量守恒有：
 Mgs=mgssinθ+Q+

1

2

（M+m）v² ③
所求热量为：Q=Mgs-mgs sin θ-

1

2

（M+m）v²=2.4 J
（3）由上（2）式变换成速度与质量的函数关系为：
v=

(M-msinθ)gR

B2L2

=

gR

B2L2

M-

mgRsinθ

B2L2

 ④
再由图象可得：

gR

B2L2

=

10

0.3

，
所以 B₁=0.54 T
（4）由上④式的函数关系可知，当B₂=2B₁时，图线的斜率减小为原来的

1

4

．
与M轴的交点不变，与M轴的交点为m sinθ．在坐标图上画出相应的v-M图线，如图红线所示．
答：
（1）金属棒匀速运动时的速度为4m/s；
（2）棒从释放到开始匀速运动的过程中，电阻R上产生的焦耳热是2.4J；
（3）根据图中的数据计算出此时的B₁为0.54T．
（4）在坐标图上画出相应的v-M图线如图所示，图线与M轴的交点的物理意义为m sinθ．

点评：本题中根据物理规律得到解析式，再分析图象的数学意义，采用数学上数形结合的方法．