Question

1．汽车从甲地由静止出发，沿平直公路驶向乙地，汽车先以加速度a₁做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，最后以加速度a₂做匀减速直线运动，到乙地恰好停下．已知甲、乙两地相距x，那么要使汽车从甲地到乙地所用时间最短，汽车应做怎样的运动？最短时间为多少？

Answer 1

分析
汽车运动的v-t图象如图所示，四边形OABC的面积表示甲、乙两地距离s，OA，BC线的斜率分别表示汽车加速、减速的加速度a₁，a₂，OC线段表示汽车从甲到乙所用时间t，要使t最短，s，a₁，a₂不变，需使BC沿t轴负向平移，AB沿v轴正向平移，得到三角形OA′C′．即汽车先加速运动，后减速运动，中间无匀速运动的过程，行驶的时间最短．

解答 解：设汽车匀加速运动时间为t₁，则匀减速运动的时间为（t+t₁）最大速度为v．
则v=a₁t₁   ①
v=a₂（t-t₁）②
由①②式得：${t}_{1}=\frac{{a}_{2}t}{{a}_{1}+{a}_{2}}$$v=\frac{{a}_{1}{a}_{2}t}{{a}_{1}+{a}_{2}}$
根据图象得位移$s=\frac{v}{2}t=\frac{{a}_{1}{a}_{2}t}{{a}_{1}+{a}_{2}}$
解得$t=\sqrt{\frac{2s（{a}_{1}+{a}_{2}）}{{a}_{1}{a}_{2}}}$
答：要使汽车从甲地到乙地所用时间最短，汽车应先加速运动后减速运动最后停止，最短时间为$t=\sqrt{\frac{2s（{a}_{1}+{a}_{2}）}{{a}_{1}{a}_{2}}}$．

点评 用v-t图象分析问题，整个运动的位移不变即图象的面积不变，得出运动只包含匀加速运动和匀减速运动，抓住题目中的隐含的信息，从速度、时间和位移三层关系建立等量关系式，联立方程求解．