Question

如图所示，有三个宽度均为d的区域I、Ⅱ、Ⅲ；在区域I和Ⅲ内分别为方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场（虚线为磁场边界面，并不表示障碍物），区域I磁感应强度大小为B，某种带正电的粒子，从孔O₁以大小不同的速度沿图示与aa'夹角α=30°的方向进入磁场（不计重力），已知速度为υ_o和2υ_o时，粒子在区域I内的运动时间相同，均为t_o；速度为υ时粒子在区域I内的运时间为

to

5

．求：
（1）粒子的比荷

q

m

和区域I的宽度d；
（2）若区域Ⅲ磁感应强度大小也为B，速度为υ的粒子打到边界cc'上的位置P点到O₂点的距离；
（3）若在图中区域Ⅱ中O₁O₂上方加竖直向下的匀强电场，O₁O₂下方对称加竖直向上的匀强电场，场强大小相等，使速度为υ的粒子每次均垂直穿过I、Ⅱ、Ⅲ区域的边界面并能回到O₁点，则所加电场场强和区域Ⅲ磁感应强度大小为多大？并求出粒子在场中运动的总时间．

Answer 1

分析：（1）速度为υ_o和2υ_o时粒子在区域I内的运动时间相同，故粒子运动的轨迹对应的圆心角相同，故只能在区域I中运动，故其轨迹所对应的圆心角为300°=

5π

3

，根据周期公式通过运动的时间求出粒子的比荷．速度为υ时粒子在区域I内的运时间为

to

5

，求出对应的圆心角，根据粒子的半径结合几何关系求出区域I的宽度d．
（2）根据运动的对称性，结合几何关系求出速度为υ的粒子打到边界cc'上的位置P点到O₂点的距离．
（3）度为υ的粒子每次均垂直穿过I、Ⅱ、Ⅲ区域的边界面并能回到O₁点，根据要求作出运动的轨迹图，根据粒子在电场中做类平抛运动，结合运动的周期性求出电场强度的大小，进入磁场做匀速圆周运动，在磁场中运动180°出磁场，根据半径的大小关系求出磁感应强度的大小．分别求出粒子在电场中和磁场中运动的时间，从而求出总时间．

解答：解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，故有：qvB=

mv2

R

，解得：R=

mv

qB

，
根据运动的周期：T=

2πR

v

可得粒子运动的周期：T=

2πm

qB

由速度为υ_o和2υ_o时粒子在区域I内的运动时间相同，故粒子运动的轨迹对应的圆心角相同，故只能在区域I中运动，故其轨迹所对应的圆心角为300°=

5π

3

，所以根据

t0

T

=

5π 3

2π

，解得：t0=

5

6

T=

5πm

3qB

所以粒子的比荷：

q

m

=

5π

3Bt0

当速度为v时，t=

t0

5

，则轨迹对应的圆心角θ=60°，而此时粒子的轨道半径：R=

mv

qB

，
所以区域I的宽度为：d=Rsin60°=

3 3 vt0

10π

（2）lo2p=2(R-Rcos60°)=

3vt0

5π

（3）粒子做类平抛运动，有：

R

2

=

Eq

2m

t2      
根据运动的对称性及周期性知：2x+4nx=d（n=0、1、2、3…）    
x=vt
得E=

16

3

Bv(2n+1)2     B'=2B
t电=

2d

v

=

3 3 t0

5π

t_磁=

T

3

+

T

2

=

7

10

t0
综上 t=

7

10

t0+

3 3 t0

5π

．
答：（1）粒子的比荷

q

m

为

5π

3Bt0

．区域I的宽度d为

3 3 vt0

10π

．
（2）速度为υ的粒子打到边界cc'上的位置P点到O₂点的距离

3vt0

5π

．
（3）所加的电场强度E=

16

3

Bv(2n+1)2，磁感应强度大小为2B．粒子在场中运动的总时间t=

7

10

t0+

3 3 t0

5π

．

点评：带电粒子在匀强磁场中的运动是整个高中的重点，也是高考的必考的内容，粒子的运动过程的分析是解题的关键．