Question

8．有两颗人造地球卫星，它们的质量之比m₁：m₂=3：1，轨道半径之比r₁：r₂=2：1，求：
（1）它们的运行速率之比
（2）它们的周期之比．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，求出线速度和周期的表达式，结合轨道半径之比求出运行速率和周期之比．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
因为轨道半径之比为：r₁：r₂=2：1，
则运行速率之比为：${v}_{1}：{v}_{2}=1：\sqrt{2}$．
（2）根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，
因为轨道半径之比为：r₁：r₂=2：1，
则周期之比为：${T}_{1}：{T}_{2}=2\sqrt{2}：1$．
答：（1）它们的运行速率之比为$1：\sqrt{2}$；
（2）它们的周期之比为$2\sqrt{2}：1$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、周期的大小与环绕天体的质量无关．