Question

9．如图，x轴的上方存在匀强磁场B₁和匀强电场E₁，其中B₁=0.20T，方向垂直纸面向里；E₁=2.0×10⁵v/m，方向沿x轴负方向．M、N是与x轴平行的薄板，其中N板位于x轴上．P、Q是MN板上的两个小孔，其连线与y轴平行．在xOy坐标系的第一象限内，有一理想边界线AO，与x轴的夹角∠AOx=45°，边界线的上方有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度B₂=0.25T，边界线的下方有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度E₂=5.0×10⁵V/m，y轴上固定一荧光屏．一束带电荷量q=8.0×10^-19C、质量m=8.0×10^-20kg的正离子从P点射入MN间，通过点Q（0.8m，0）后沿y轴正方向进入第一象限，最后打到荧光屏上的C点．不计离子的重力，求：
（1）高子通过Q点时速度的大小；
（2）C点的纵坐标；
（3）若只改变AOx区域内磁感应强度的大小，使离子都不能到达荧光屏上，则磁感应强度的大小B₂应满足什么条件？（不考虑N板对离子的反射）

Answer 1

分析 （1）离子在复合场中做直线运动，受电场力和洛伦兹力平衡，结合平衡求出离子通过Q点的速度大小．
（2）根据半径公式求出离子在磁场中做圆周运动的半径，作出离子的运动轨迹，得出圆心角，确定出离子在电场中做类平抛运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出沿电场方向上的位移，根据几何关系求出C点的纵坐标．
（3）根据几何关系求出最大半径，结合半径公式求出磁感应强度的最小值，从而得出磁感应强度的范围．

解答 解：（1）设从Q射出的离子的速度大小为v，有：
qE₁=qvB₁，
代入数据解得v=1.0×10⁶m/s．
（2）离子进入磁场做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有：
$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入数据解得r=0.4m．
作出离子的运动轨迹，交OA边界于D，如图所示．
可知圆弧QD的圆心角为90°，离子垂直电场线进入电场，离子在电场中做类平抛运动，
x=OO′=vt，
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
a=$\frac{q{E}_{2}}{m}$，
代入数据联立解得y=0.4m．
离子打到荧光屏上的位置C的纵坐标为y_C=（0.4+0.4）m=0.8m．
（3）只要离子能通过AO边界进入电场E₂中，离子一定到达荧光屏上．由几何关系可知，使离子不能到达y轴上的最大半径
R_m+2R_msin45°=x_Q，
设最小的磁感应强度大小为B₀，则
$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{m}}$，
代入数据解得${B}_{0}=\frac{\sqrt{2}+1}{8}T$，
所以B₂应满足的条件${B}_{2}≥\frac{\sqrt{2}+1}{8}T$．
答：（1）离子通过Q点时速度的大小为1.0×10⁶m/s．
（2）C点的纵坐标为0.8m．
（3）磁感应强度的大小B₂应满足${B}_{2}≥\frac{\sqrt{2}+1}{8}T$．

点评 本题考查了粒子在电场和磁场中运动，知道粒子在PQ间做匀速直线运动，对于粒子在磁场中的运动，会确定圆心、半径、圆心角．掌握处理粒子做类平抛运动的方法，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．对于第三问，关键确定出临界状态，找出最大半径．