Question

如图所示，一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号是1、2、3、…、n的木块，所有木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数均为μ，木板的质量与所有木块的总质量相等．在t=0时刻木板静止，第l、2、3、…、n号木块的初速度分别为v_o、2v_o、3v_o、…、nv_o，方向都向右．最终所有木块与木板以共同速度匀速运动．试求：
（1）所有木块与木板一起匀速运动的速度v_n
（2）从t=0到所有木块与木板共同匀速运动经历的时间t
（3）第（n-1）号木块在整个运动过程中的最小速度v_n-1．

Answer 1

（1）木块与木板组成的系统动量守恒，以木块的初速度方向为正方向，
对系统，由动量守恒定律得：m（v_o+2v_o+3v_o+…+nv_o）=2nmv_n，
解得：v_n=

(n+1)v0

4

；
（2）第n号木块始终做匀减速运动，所以对第n号木块，
由动量定理得：-μmg t=mv_n-mnv_o，
解得：t=

(3n-1)v0

4μg

；
（3）第（n-1）号木块与木板相对静止时，它在整个运动过程中的速度最小，设此时第n号木块的速度为v．
对系统，由动量守恒定律：m（v_o+2v_o+3v_o+…+nv_o）=（2n-1）m v_n-1+mv ①
对第n-1号木块，由动量定理得：-μmg t′=m v_n-1-m（n-1）v_o②
对第n号木块，由动量定理得：-μmg t′=mv-mnv_o③
由①②③式解得：v_n-1=

(n-1)(n+2)v0

4n

．
答：（1）所有木块与木板一起匀速运动的速度v_n为

(n+1)v0

4

；
（2）从t=0到所有木块与木板共同匀速运动经历的时间t=

(3n-1)v0

4μg

；
（3）第（n-1）号木块在整个运动过程中的最小速度v_n-1=

(n-1)(n+2)v0

4n

．