2009年厦门市高中毕业班适应性考试
数学（文科）试卷
注意事项；
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名。
2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：
锥体的体积公式；
，其中
为底面面积，
为高；
球的表面积公式：
，体积公式：
，其中
为球的半径。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数
，则
A．1 B．
D．3
2．已知命题
，则
A．
B．
C．
D．
3．已知集合
，集合
，则
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
5．已知直线
及三个不同平面
，给出下列命题
（1）若
（2）若
（3）若
（4）若
其中正确的命题是
A．（1）（3） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）
6．若向量
满足
，且
则向量
和
的夹角等于
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，下列判断正确的是
A．
是奇函数，在
上是增函数
B．是奇函数，在上不是增函数
C．不是奇函数，在上增函数
D．不是奇函数，在上不是增函数
8．测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测
的，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB为
A．
B．
C．
D．
9．已知变量
满足条件
，则
的最小值是
A． -4 B．
10．若直线
始终平分圆
，则
的最大值为
A．4 B．
11．等差数列
的公差
，且
，则数列的前项和
取得最大值时
A．7 B．
12．已知函数
，函数
，则函数
有两个零点的充要条件是
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
13．曲线
在点
处的切线斜率为
14若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则
的值等于
15．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形。若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是
16．如果一个自然数
，我们可以把它写成若干个连续自然数之和，则称其为自然数的一个“分拆”。如9=4+5=2+3+4．我们就说“4+
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把解答过程填写在答题卡的相应位置。
17．（本小题满分12分）
已知函数
，其部分图像如图所示。
（I）
求函数
的表达式；
（II）
若
，且
，试求
的值。
18.（本小题满分12分）
为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方分成五组：第一组
，第二组
，……第五组
；按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示。已知第一组、第二组、第三组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8.
（I）
将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在
内的人数；
（II） 求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（III） 若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率。
19.（本小题满分12分）
已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形。
（I）
若M为CB中点，证明：
；
（II） 求这个几何体的体积。
20.（本小题12分）
已知数列的前项和
（I）
试求的通项公式，并说明是否为等比数列；
（II）
设数列
满足
，求
的最小值。
21.(本小题满分12分)
已知椭圆过点
过点
，且长轴等于4，
是椭圆的两个焦点。
（I） 求椭圆C的方程；
（II）
是以
为直径的圆，直线
与相切，并与椭圆C交于不同的两点
，若
，求
的值。
22.（本小题满分14分）
已知函数
的单调递减区间是
，且满足
（I）
求的解析式；
（II）
对任意实数
，关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围。
2009年厦门市高中毕业班适应性考试
一、选择题：本题考查基础的知识和基本运算，每题5分，满分60分。
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每题4分，满分16分。
13．1 14．4 15．3 16．9+10+11，4+5+6+7+8，6+7+8+9（选对其中两个即可）
三、解答题:本题共6大题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．本题主要考查三角函数的图像和性质，以及三角变换的知识，考查运算求解能力。
解：（I）由图象知
将
代入
得
因为
，所以
所以
（II）因为
所以
，
18．本题考查样本估计总体，古典概型，频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力。
解：（I）百米成绩在
内的频率为0.32
0.32
估计该年段学生中百米成绩在内的人数为320人。
（II）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x,19x依题意，得
,
设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，则
调查中随机抽取了50个学生的百米成绩。
（III）百米成绩在第一组的学生数有
，记他们的成绩为
百米成绩在第五组的学生数由
，记他们的成绩为
则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有
其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有
所以
19．本题主要考查线面平行与垂直关系，及多面体的体积计算等基础知识，考察空间想象能力、抽象概括能力和运算求解能力。
（I）证明：取
的重点P，连
已知M为CB中点，
，且
由三视图可知，四边形
为直角梯形，
，四边形ANPM为平行四边形，
，
又
平面
平面
，
平面
（II）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
两两垂直
与BA相交于B，
平面
，BC为三棱锥
的高
取
的重点
，连
，四边形的直角梯形且
，四边形ABQN为正方形，
，
又
平面，
平面
，
且
与相交于B，
平面
为四棱锥
的体积
20．本题主要考查数列的该概念、等差数列、等比数列的通项及前n项和等基础知识，考察推理论证能力、函数与方程思想以及分类与整合思想
解：（I）
时，
时，
不是等比数列
（II）
，
所以当
时有：
当
时有：
；
的最小值为
（注：作商比较也可）
21．本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识，考察运算求解能力及化归与转换和数形结合思想。
解：（I）由题意椭圆的长轴
，
在椭圆上，
椭圆的方程为
（II）由直线l与圆O相切得
设
，由
消去
，整理得
由题可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，
的值为
22．本题主要考查函数与倒数的基本知识及综合应用知识的能力，考察分类与整合思想、化归与转换思想，考察分析问题和解决问题的能力。
解：（I）由已知得，
函数
的单调递减区间是（1，2），
的解是
的两个根本分别是1和2，且
从
且，可得
又
得
（II）由（I）得，
时，
在
上是增函数，
对
当x=2时，
要使
在
上有解，
即
既
对任意
恒成立，
即
对任意恒成立，
设
，则
令
得
或
在
的符号与
德单调情况如下表：
m
（0，1）
1
（1，2）
-
0
+
æ
极小值
ä
时，
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