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已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x－y＋＝0与以原点为圆心， 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁＋k₂＝4，证明：直线AB过定点.

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已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k₁，k₂。
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k₁：k₂的值；
（2）求k₁：k₂。

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一、选择题：本题考查基础的知识和基本运算，每题5分，满分60分。

1 C  2 C  3 D  4 B  5 B  6 C  7 A  8 D  9 A  10 C  11 C  12D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每题4分，满分16分。

    13．1    14．4     15．3  16．9+10+11，4+5+6+7+8，6+7+8+9（选对其中两个即可）

三、解答题:本题共6大题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．本题主要考查三角函数的图像和性质，以及三角变换的知识，考查运算求解能力。

解：（I）由图象知

    将代入得

    因为，所以

   所以

（II）因为所以

  ，

18．本题考查样本估计总体，古典概型，频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力。

 解：（I）百米成绩在内的频率为0.32

        0.32

     估计该年段学生中百米成绩在内的人数为320人。

    （II）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x,19x依题意，得

        ,

     设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，则

     调查中随机抽取了50个学生的百米成绩。

     （III）百米成绩在第一组的学生数有，记他们的成绩为

    百米成绩在第五组的学生数由，记他们的成绩为

     则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有

   其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有

    所以

19．本题主要考查线面平行与垂直关系，及多面体的体积计算等基础知识，考察空间想象能力、抽象概括能力和运算求解能力。

（I）证明：取的重点P，连已知M为CB中点，，且

  由三视图可知，四边形为直角梯形，

 ，四边形ANPM为平行四边形，，

 又平面平面，平面

（II）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

 两两垂直

 与BA相交于B，

 平面，BC为三棱锥的高

 取的重点，连，四边形的直角梯形且

 ，四边形ABQN为正方形，，

又  平面，平面，

且与相交于B，平面

为四棱锥的体积

20．本题主要考查数列的该概念、等差数列、等比数列的通项及前n项和等基础知识，考察推理论证能力、函数与方程思想以及分类与整合思想

   解：（I）时，

       时，

      不是等比数列

      （II），

     所以当时有：

     当时有：；

     的最小值为

      （注：作商比较也可）

21．本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识，考察运算求解能力及化归与转换和数形结合思想。

    解：（I）由题意椭圆的长轴，

       在椭圆上，

       椭圆的方程为

   （II）由直线l与圆O相切得

    设，由消去，整理得

   由题可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，

的值为

22．本题主要考查函数与倒数的基本知识及综合应用知识的能力，考察分类与整合思想、化归与转换思想，考察分析问题和解决问题的能力。

解：（I）由已知得，

    函数的单调递减区间是（1，2），的解是

   的两个根本分别是1和2，且

   从且，可得

   又得

（II）由（I）得，

时，在上是增函数，

对当x=2时，

要使在上有解，

即

既对任意恒成立，

即对任意恒成立，

设，则

令得或

在的符号与德单调情况如下表：

m

（0，1）

1

（1，2）

-

0

+

æ

极小值

ä

时，