Question

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x－y＋＝0与以原点为圆心， 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁＋k₂＝4，证明：直线AB过定点.

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）见解析

(1)∵等轴双曲线离心率为，∴椭圆C的离心率e＝.
∴e²＝＝，∴a²＝2b².
∵由x－y＋＝0与圆x²＋y²＝b²相切，得
b＝1，∴a²＝2.
∴椭圆C的方程为＋y²＝1.
(2)证明　①若直线AB的斜率不存在，设方程为x＝x₀，则点A(x₀，y₀)，B(x₀，－y₀)．
由已知＝4，得x₀＝－.
此时AB方程为x＝－，显然过点.
②若直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋m，依题意m≠±1.
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由
得(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.
则x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.
由已知k₁＋k₂＝4，可得＋＝4，
∴＋＝4，即2k＋(m－1) ＝4，将x₁＋x₂，x₁x₂代入得k－＝2，∴k＝2(m＋1)，
∴m＝－1.故直线AB的方程为y＝kx＋－1，
即y＝k－1.
∴直线AB过定点.
综上，直线AB过定点.