Question

如图，点P(0，－1)是椭圆C₁：＝1(a>b>0)的一个顶点，C₁的长轴是圆C₂：x²＋y²＝4的直径．l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中l₁交圆C₂于A，B两点，l₂交椭圆C₁于另一点D.

(1)求椭圆C₁的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l₁的方程．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）y＝±x－1.

(1)由题意得所以椭圆C₁的方程为＋y²＝1.
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，D(x₀，y₀)．
由题意知直线l₁的斜率存在，不妨设其为k，
则直线l₁的方程为y＝kx－1.又圆C₂：x²＋y²＝4，
故点O到直线l₁的距离d＝，所以|AB|＝2 ＝2 .
又l₂⊥l₁，故直线l₂的方程为x＋ky＋k＝0.由
消去y，整理得(4＋k²)x²＋8kx＝0，
故x₀＝－.所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤，
当且仅当k＝±时取等号．所以所求直线l₁的方程为y＝±x－1.