Question

设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

Answer 1

（1） （2）11

试题分析：
（1）根据题意求出的坐标与A点的坐标，带入式子，即可求出a的值，进而得到椭圆M的方程.
（2）设圆的圆心为，则可以转化所求内积，
，故求求的最大值转化为求的最大值．N点为定点且坐标已知，故设出P点的坐标且满足椭圆方程，带入坐标公式利用二次函数求最值的方法即可求出NP的最值，此外还可以利用参数方程来求解NP的最值.
试题解析：
（1）由题设知，，，  1分
由，得．  2分
解得．                                    3分
所以椭圆的方程为．            4分
（2）方法1：设圆的圆心为，
则  5分
 6分
． 7分
从而求的最大值转化为求的最大值．  8分
因为是椭圆上的任意一点，设，  9分
所以，即．    10分
因为点，所以．     11分
因为，所以当时，取得最大值12．     13分
所以的最大值为11．                    14分
方法2：设点，
因为的中点坐标为，所以          5分
所以          6分
 
．        8分
因为点在圆上，所以，即．  9分
因为点在椭圆上，所以，即．      10分
所以．         12分
因为，所以当时，．      14分
方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，     5分
由，解得．            6分
因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即 7分
所以，    8分
所以． 9分
因为，所以当时，取得最大值11．   11分
②若直线的斜率不存在，此时的方程为，
由，解得或．不妨设，，．  12分
因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即．
所以，．
所以．
因为，所以当时，取得最大值11．    13分
综上可知，的最大值为11．                14分