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椭圆C=1(ab>0)的左、右焦点分别是F1F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1PF2的斜率分别为k1k2.若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.
(1)y2=1.(2)为定值,这个定值为-8
(1)由于c2a2b2,将x=-c代入椭圆方程=1,得y=±.
由题意知=1,即a=2b2.
e,所以a=2,b=1.所以椭圆C的方程为y2=1.
(2)设P(x0y0)(y0≠0),又F1(-,0),F2(,0),

直线l的方程为yy0k(xx0).联立得
整理得(1+4k2)x2+8(ky0k2x0)x+4(-2kx0y0k2-1)=0.
由题意Δ=0,即(4-)k2+2x0y0k+1-=0.
=1,
所以16k2+8x0y0k=0,故k=-.
所以·=-8,
因此为定值,这个定值为-8
练习册系列答案
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(1)求椭圆的方程;
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(1)求椭圆的方程.
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(1)求椭圆的方程;
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(1)求椭圆的方程;
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(1)若所在的直线方程为,求的长;
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对于曲线=1,给出下面四个命题:
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(2)若曲线表示焦点在x轴上的椭圆,则1<
(3)若曲线表示双曲线,则<1或>4;
(4)当1<<4时曲线表示椭圆,其中正确的是(      )
A.(2)(3)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)

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(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

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