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    海淀区高三年级第二学期期中练习

              数   学（理科）    2009.3

    一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

    1．设全集为实数集R，集合                              （    ）

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           A．        B．        C．       D．

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    2．在三角形ABC中，若则此三角形必是                             （    ）

           A．等腰三角形        B．正三角形            C．直角三角形        D．等腰直角三角形

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    3．曲线C在直角坐标系中的参数方程（α为参数）.若以原点为极点，x轴正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是                               （    ）

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           A．       B．        C．       D．

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    4．若存在的一个充分不必要条件是                                       （    ）

           A．q>p                    B．|p|=|q|                 C．q<p<0                 D．0<q<p

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    5．已知平面                         （    ）

           A．一定存在直线与直线m平行，也一定存在直线与直线m垂直

           B．一定存在直线与直线m平行，但不一定存在直线与直线m垂直

           C．不一定存在直线与直线m平行，但一定存在直线与直线m垂直

           D．不一定存在直线与直线m平行，也不一定存在直线与直线m垂直

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    6．6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或第六道，则不同排法种数共有                                   （    ）

           A．144                    B．96                      C．72                      D．48

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    7．在平面直角坐标系内,将直线l向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线l′,l与l′间的距离为，则直线l的倾斜角为                                        （    ）

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           A．           B．           C．       D．

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    8．已知函数恒成立，则实数m的最大值为                                                     （    ）

           A．2                        B．3                        C．4                        D．5

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    二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.

    9．圆锥底面半径为1，其母线与底面所成的角为60°，则它的侧面积为           ；它的体积为                 .

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    10．函数的最小正周期为          ；其图象的位于y轴右侧的对称轴从左到右分别为l1，l2，l3，…，则l3的方程是               .

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    11．不等式的解集为            ；若关于x的不等式的解集为R（实数集），则实数a的取值范围是              .

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    12．双曲线的焦点坐标为                ;若曲线有一条准线方程为x=2，则实数m为            .

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    13．等差数列，其前6项和为24，则其首项a1为          ；数列{|an|}

    的前9项和等于                 .

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    14．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，到点P（－4，5）的距离大于2且小于3的整点共有           个；将这些点按到原点的距离从小到大排列，分别记为点P1，P2，P3，…，则点P7的坐标为              .

     

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    三、解答题：本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    15．（本小题满分12分）已知复平面内点A、B对应的复数分别是，其中对应的复数为z.

    （Ⅰ）求复数z;

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    （Ⅱ）若复数z对应的点P在y=上，求的值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    16．（本小题满分15分）

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    （Ⅰ）求证：AM⊥PD；

    （Ⅱ）求二面角P―AM―N的大小；

    （Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    17．（本小题满分14分）

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    已知数列、

    （Ⅰ）若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和S­n的公式；

    （Ⅱ）当{an}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    18．（本小题满分13分）

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        在平面直角坐标系中，长度为6的线段PQ的一个端点P在射线y=0(x≤0)上滑动，另一端点Q在射线x=0(y≤0)上滑动，点M在线段PQ上，且

    （Ⅰ）求点M的轨迹方程；

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    19．（本小题满分13分）

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        甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15?/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40?处的B岛出发，朝北偏东θ（的方向作匀速直线航行，速度为10 ?/小时.（如图所示）

    （Ⅰ）求出发后3小时两船相距多少?？

    （Ⅱ）求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少?？

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    20．（本小题满分13分）

        集合A是由适合以下性质的函数f (x) 构成的：

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    对于任意的

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    （Ⅰ）试判断？说明理由；

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    （Ⅱ）设写出一个满足以上条件的f (x)的解析式；并证明你写出的函数

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    一、选择题（每小题5分，共40分）

    题 号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答 案

    B

    A

    D

    C

    C

    A

    B

    C

    二、填空题（每小题5分，其中第一空3分，第二空2分，共30分）

       9．2π； π   10．12π；x=13π    11．

       12．（±2，0）；－    13．9；  41      14．12；  （－6，4）

    三、15．（本小题满分12分）

    解：（1）……………………3分

                      ………………5分

       （2）点P的坐标为………………6分

            由点P在直线上，即.………………9分

           

            ……………………12分

    ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.

    ∴CD⊥平面PAD……………………………………3分

    ∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.

    ∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.

    ∴AM⊥平面PCD.

    ∴AM⊥PD.…………………………………………5分

       （II）解：∵AM⊥平面PCD（已证）.

    ∴AM⊥PM，AM⊥NM.

    ∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角.…………………………7分

    ∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.

    在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.

    ∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，PM=PD=

    由Rt△PMN∽Rt△PCD，得 ∴.

    …………10分

    即二面角P―AM―N的大小为.（III）解：延长NM，CD交于点E.

    ∵PC⊥平面AMN，∴NE为CE在平面AMN内的射影

    ∴∠CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角.…………12分

    在Rt△PMN中，

    ∴CD与平面AMN所成的角的大小为…………15分

    17． （I）解：因为{an}是等比数列a1=1,a2=a.

    ∴a≠0，an=an－1.……………………………………2分

    又…………5分

    即是以a为首项, a2为公比的等比数列.

    ……………………9分

    （II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：……………………10分

    解法一：设{bn}的公比为q，则

    又a1=1,a2=a, a1, a3, a5,…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列，

    a2, a4, a6, …, a2n , …是以a为首项，q为公比的等比数列，…………………………11分

    即{an}为：1，a, q, aq , q2, aq2, ……………………………………………………………12分

    当q=a2时，{an}是等比数列；

    当q≠a2时，{an}不是等比数列.…………………………………………………………14分

    解法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：

    设{bn}的公比为q

    （1）取a=q=1时，an=1(n∈N)，此时bn=anan+1=1, {an}、{bn}都是等比数列.…………11分

    （2）取a=2, q=1时，

    所以{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列.……………………………………14分

    18．（本小题满分13分）

       （I）解：设点P、Q、M的坐标分别是P(x1, 0)、Q（0，y1）、M(x, y) 其中x1≤0，y1≤0,依条件可得……………………………………………………………2分

    又依

    代入（*）式，得……7分

    即点M的轨迹方程为

    （II）解：设M点的坐标是（4cosα，2sinα）其中0≤α<2π

    S四边形OAMB=S△OAM+S△OBM

    仅当时，

    四边形OAMB的面积有最大值. …………13分

    19．（本小题满分13分）

    解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

    设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1, y1) Q (x2,y2).

    （I）令，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20）

    .

    即两船出发后3小时时，相距锂.……………………8分

    （II）由（I）的解法过程易知：

    ∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为20 .………………13分

    即两船出发4小时时，相距20 海里为两船最近距离.

    20．（本小题满分13分）

       （I）解：取x=1 , y=4则

        

    ………………6分

      （II）设函数满足其值域为（1，2）

    且……………………………………………………9分

    又任意取x>0, y>0且x≠y则

    ………………………13分（囿于篇幅，若有其它正确解法请按相应步骤给分.）

     


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