2009年浙江省嵊泗中学高三数学调测试卷
数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.在复平面内，复数
对应的点位于( )
A． 第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2．等差数列
、等比数列
中，
，则前5项的和
为 ( )
（A）5 （B）20 （C）10 （D）40
3、函数
与
在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
4、设随机变量
，若
，
则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的
（ ）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
6、已知相交直线
都在平面
内，并且都不在平面
内，若
中至少有一条与平面相交；q：平面与相交，则p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7、已知函数
的图象为
，则下列命题中正确个数( )
①函数
的周期为
；
②函数在区间
的最小值为
；
③图象关于直线
对称； ④图象关于点
对称.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
8．已知函数
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C． 
D．
9、数列
满足
，使得
恒成立，则非零整数
的值等于（ ）
A. 
B.
C. 
D
10．已知
且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有（ ）
A．
个 B．
个 C．
个 D．
个
二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分。
11、已知
的展开式中
项的系数为3，则实数
的值为 ．
12、在
中，已知
，则
的值为
13、△ABC中，
，
，则
的最小值是 ．
14、若经过点P（－1，0）的直线与圆
相切，则这条直线在y轴上的截距是 ．则经过原点的切线长等于
15、当实数
满足
时，变量
的取值范围是
16、一个正四棱柱的底面边长为8，高为6，在其内部的底面上放入四个大小相同的球，使相邻的两球彼此相切，并且都与相邻的侧面相切，在这四个球的上面再放一个球，使这个球在正四棱柱内部，则这个球的半径的最大值为
17、已知
，且方程
无实数根，下列命题中：
①方程
也一定没有实数根；
②若
，则不等式
对一切实数
都成立；
③若
，则必存在实数
，使
④若
，则不等式
对一切实数都成立．
正确命题的序号是 ．(把你认为正确的命题的所有序号都填上)
三、解答题：本大题有5小题，18至21每小题14分，22题16分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18. （本题满分14分）某选手在电视抢答赛中答对每道题的概率都是，答错每道题的概率都是，答对一道题积1分，答错一道题积-1分，答完n道题后的总积分记为Sn
（Ⅰ）答完2道题后，求同时满足S1=1且S2≥0的概率；
（Ⅱ）答完3道题后，设ξ=S3，求ξ的分布列及其数学期望
19．（本题满分14分）如图，正三棱柱
中， 
是
中点．
（1）求证：
//平面
；
（2）
当
为何值时，二面角
的正弦值为
？
20（本小题满分14分）.如图，给出定点
（a是大于零的常数）和动直线
（
）.B是直线l上的一个动点，
的角平分线交AB于点C.
（1）试确定点B的位置，使
；
（2）当
时，求点C的轨迹方程，并说明当
时；
时及
的轨迹各是什么曲线？
21（本小题满分14分）函数
，（其中为实常数， 
为自然对数的底数.）
（1）当
时，求的极值；
（2）若在区间
上的最大值为－3，求的值；
（3）当时，试推断方程 
是否有实数解.
22. （本小题满分16分）已知c为正实数，数列
满足
，
（
）.
（1）证明：
（）；
（2）t是满足
的正实数，记
（），数列
的前n项和为
，
证明：
（）；
（3）若
，记
（），求数列
的通项公式.
2009年浙江省嵊泗中学高三数学调测试卷
一、选择题 ACCBC BBCCD
二、填空题：
，
，
，
，
，
，①②④
18（Ⅰ）由题意“
且
”表示“答完
题，第一题答对，第二题答错；或第一题答对，第二题也答对” 此时概率
…6分
（Ⅱ）P(
)=
=
, P(
)=
=
,………9分
-3
-1
1
3
P(
)=
= ,
P(
)=
=
∴的分布列为
12分
∴
……14分
19解：(Ⅰ) 连接
交
于点
，连接
．
在
中，
分别为
中点，
．
平面
，
平面，
平面． …………(6分)
(Ⅱ) 法一：过
作
于
，由三垂线定理得
，
故∠
为二面角
的平面角． ……………………………………(9分)
令
，则
，又
，
在
△中，
，
解得
。
当
时，二面角的正弦值为
． ………………(14分)
法二：设
，取
中点
，连接
，
以
为坐标原点建立空间直角坐标系，如右图所示：
则
，
则
．
设平面的法向量为
，平面
的法向量为
，
则有
，
，即
，
，
设
，则
，
，解得
．
即当
时，二面角
的正弦值为
． …………………(14分)
20．(1) 
;
(2)轨迹方程为
（
）
（1）当
时，轨迹方程为
（
），表示抛物线弧段。
（2）当
时，轨迹方程为
，
A）当
表示椭圆弧段； B）当
时表示双曲线弧段。
21.
Ⅰ)
…………(2分)
令
，则
当
时，
；当
时 
故有极大值
…………(4分)
Ⅱ）∵
=a+
，x∈(0，e)，∈［
，+∞
（1）若a≥－，则≥0，从而f(x)在(0，e)上增函数.
∴f(x)max =f(e)=ae+1≥0.不合题意. …………………………………7分
（2）若a<－， >
a+>0，即0<x<－
由a+<0，即－<x≤e.
∴f(x)
=f(－)=－1+ln(－).
令－1+ln(－)=－3，则ln(－)=－2.∴－=e
，
即a=－e2. ∵－e2<－，∴a=－e2为所求. ……………………………10分
Ⅲ)由Ⅰ)结论，
=f(1)=－1.∴f(x)=－x+lnx≤－1，从而lnx≤x－1.
令g(x)=|f(x)|－
－
=x－lnx－－=x－(1+)lnx－……12分
（1）当0<x<2时，有g(x)≥x－(1+)(x－1)－=－>0.
（2）当x≥2时，g′(x)=1－［(－
)lnx+(1+)?］=
=
.
∴g(x)在[2，+∞上增函数，∴g(x)≥g(2)=
综合（1）、（2）知，当x>0时，g(x)>0，即|f(x)|>
.
故原方程没有实解. ………………………………16分
22．证明：（I）
①当
， …………2分
②假设
，
则
时不等式也成立，
…………4分
（II）由
，
由
…………5分
又
…………7分
…………8分
（III）
，
， …………10分
的等比数列，…………12分
…………14分
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