证明：（1）

n

k=0

2k

C

k n

=3n（n∈N）；
（2）2C_2n⁰+C_2n¹+2C_2n²+C_2n³+…+C_2n^2n-1+2C_2n²ⁿ=3•2^2n-1（n∈N）；
（3）2＜(1+

1

n

)n＜3(n∈N)．

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证明：（1）（n∈N）；
（2）2C_2n+C_2n¹+2C_2n²+C_2n³+…+C_2n^2n-1+2C_2n²ⁿ=3•2^2n-1（n∈N）；
（3）．

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一、选择题      ACCBC  BBCCD

二、填空题：，，，，，，①②④

18（Ⅰ）由题意“且”表示“答完题，第一题答对，第二题答错；或第一题答对，第二题也答对” 此时概率                 …6分

（Ⅱ）P()==,    P()==,………9分

-3

-1

1

3

P()== ,     P()==

∴的分布列为 

                                                   12分

∴  ……14分                                               

19解：(Ⅰ) 连接交于点，连接．

在中，分别为中点，．

平面，平面，平面．   …………(6分)

　 (Ⅱ)　法一：过作于，由三垂线定理得，

故∠为二面角的平面角．    ……………………………………(9分)

　令，则，又，

　　在△中，，

　  解得。

当时，二面角的正弦值为．     ………………(14分)

法二：设，取中点，连接，

以为坐标原点建立空间直角坐标系，如右图所示：

则，

则．

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则有，，即，，

设，则，

，解得．

即当时，二面角的正弦值为．  …………………(14分)

20．(1)   ;

(2)轨迹方程为（）

（1）当时，轨迹方程为（），表示抛物线弧段。

（2）当时，轨迹方程为，

    A）当表示椭圆弧段；      B）当时表示双曲线弧段。

21.   Ⅰ)   …………(2分)

令，则

当时，；当时

故有极大值…………(4分)

Ⅱ）∵=a+，x∈(0，e)，∈［，+∞

   （1）若a≥－，则≥0，从而f(x)在(0，e)上增函数.

    ∴f(x)_max =f(e)=ae+1≥0.不合题意. …………………………………7分

   （2）若a<－， >0a+>0，即0<x<－

    由a+<0，即－<x≤e.

    ∴f(x)=f(－)=－1+ln(－).

    令－1+ln(－)=－3，则ln(－)=－2.∴－=e，

    即a=－e². ∵－e²<－，∴a=－e²为所求. ……………………………10分

   Ⅲ)由Ⅰ)结论，=f(1)=－1.∴f(x)=－x+lnx≤－1，从而lnx≤x－1.

    令g(x)=|f(x)|－－=x－lnx－－=x－(1+)lnx－……12分

   （1）当0<x<2时，有g(x)≥x－(1+)(x－1)－=－>0.

   （2）当x≥2时，g′(x)=1－［(－)lnx+(1+)?］=

                   =.

    ∴g(x)在[2，+∞上增函数，∴g(x)≥g(2)=

    综合（1）、（2）知，当x>0时，g(x)>0，即|f(x)|>.

    故原方程没有实解.                       ………………………………16分

22．证明：（I）

    ①当，                       …………2分

②假设，

则时不等式也成立，                                                               …………4分

   （II）由，

由

                                                                                              …………5分

又                …………7分

                            …………8分

   （III），

，                                             …………10分

的等比数列，…………12分

                                   …………14分