武汉市2009届高中毕业生四月调研测试
理科数学试卷
武汉市教育科学研究院命制 2009.4.16
本试卷共150分。考试用时150分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷的答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.
3.考试结束，监考人员将本试题和答题卡一并收回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
其中R表示球的半径
球的体积公式
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足，则z =（ ）
A． B． C． D．
2．已知点到直线的距离相等，则实数的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（ ）
A．35海里 B．海里 C．海里 D．70海里
4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的1份为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
D．事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小
6．已知为三条不同的直线，且平面M，平面N，
（1）若a与b是平行两直线，则c至少与a,b中的一条相交；
（2）若；
（3）若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
（4）若,则必有.
其中正确的命题个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．在实数范围内，条件且是条件成立的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不是充分又不是必要条件
8．从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（ ）
A．42 B．30 C．72 D．60
9．若函数，则当之间大小关系为（ ）
A． B．
C． D．与或a有关，不能确定
10．已知圆：，过圆内定点P（2，1）作两条相互垂直的弦AC和BD，那么四边形ABCD面积最大值为（ ）
A．21 B． C． D．42
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11．在的展开式中，常数项为 .
12．已知区域D满足，那么区域D内离坐标原点O距离最远的点P的坐标为 .
13．在中，，O为的内心，且则 = .
14．已知内接于椭圆，且的重心G落在坐标原点O，则的面积等于 .
15．函数的值域为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知函数，其定义域为，最大值为6.
（1）求常数m的值；
（2）求函数的单调递增区间.
17．（本小题满分12分）
袋中装有若干个质地均匀大小一致的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍.每次从袋中摸出一个球然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束.
（1）求摸球3次就停止的事件发生的概率；
（2）记摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及其期望.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，ABAC，AB=1，BC=2，PA=，E为边BC上异于B、C的点，且PEED.
（1）求EC的长；
（2）求二面角E-PD-A的大小.
19．（本小题满分13分）
已知椭圆C的两个焦点分别为，且点在椭圆C上，又.
（1）求焦点F2的轨迹的方程；
（2）若直线与曲线交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围.
20．（本小题满分13分）
已知函数
（1）若方程内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）
（2）如果函数的图象与x轴交于两点、且.求证：（其中正常数）.
21．（本小题满分13分）
已知数列满足：其中，数列满足：
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.
武汉市2009届高中毕业生四月调研测试
武汉市教育科学研究院命制 2009.4.16
一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．D
二、填空题
11．7 12．（2，3） 13． 14． 15．
三、解答题
16．解：（1）由
由知：，于是可知
得.………………………………………………………（6分）
（2）由及
而在上单调递增
可知满足：时单调递增
于是在定义域上的单调递增区间为.………………（12分）
17．解：（1）摸球3次就停止，说明前三次分别都摸到了红球，
则……………………………………………………………（5分）
（2）随机变量的取值为0，1，2，3.
则，
，
.
随机变量的分布列是
0
1
2
3
P
的数学期望为：
.………………………（12分）
18．解：（1）在四棱锥中，底面，则
若，则和面内相交的两直线均垂直
面，故.
在底面的平行四边形中，令
在中，.
于是
在中，由可知：
求得或
依题意，于是有.……………………………………………（6分）
（2）过点作，连结
.
又，面
面
由三垂线定理知：为所求二面角的平面角
过点
易知
又
在中
故所求二面角的大小为45.………………………………………………（12分）
19．解：（1）
故轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支.
设其方程为：
.
故轨迹方程为.…………………………………………（6分）
（2）由
方程有两个正根.
设，由条件知.
而
即
整理得，即
由（1）知，即显然成立.
由（2）、（3）知
而.
.
故的取值范围为……………………（13分）
20．解：（1）由，
求导数得到：
，故在有唯一的极值点
，且知
故上有两个不等实根需满足：
故所求m的取值范围为.………………………………………（6分）
（2）又有两个实根
则
两式相减得到：
于是
，故
要证：，只需证：
只需证：
令，则
只需证明：在上恒成立.
又则
于是由可知.故知
上为增函数，则
从而可知，即（*）式成立，从而原不等式得证.……………
……………………………………………………………（13分）
21．解：（1）经过计算可知：
.
求得.…………………………………………（4分）
（2）由条件可知：.…………①
类似地有：.…………②
①-②有：.
即：.
因此：
即：故
所以：.…………………………………………（8分）
（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数.
则由（2）可知：…………③
由，及可知.
当时，为整数，利用，结合③式，反复递推，可知，，，，…均为整数.
当时，③变为………④
我们用数学归纳法证明为偶数，为整数
时，结论显然成立，假设时结论成立，这时为偶数，为整数，故为偶数，为整数，所以时，命题成立.
故数列是整数列.
综上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）
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