黑龙江哈尔滨市第六中学2009届高三第二次模拟考试
数学（文史类）试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率
球的表面积公式，其中表示球的半径
球的体积公式，其中表示球的半径
一、选择题
1.( )
A． B． C． D．
2．已知的导函数,那么的值是 ( )
A．0 B．4 C． D．3
3.“”是“”成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
4.函数的反函数为（ ）
A． B．
C． D．
5. 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
6. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 （ ）
A．10 B．9 C 8 D 7
7.已知，且与平行，则等于（ ）
A． B． C． D．
8. 连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1，2，3，4，5，6)。现定义数列 设是其前项和，那么的概率是( )
A． B． C． D．
9．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为，若，则等于（ ）
A．16 B．26 C．30 D．80
10. 在Rt△ABC中，AB=AC=1，若一个椭圆通过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在线段AB上，则这个椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
11. 已知球O的半径为2cm，A、B、C为球面上三点，A与B，B与C的球面距离都是，A与C的球面距离为cm，那么三棱锥O―ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数的导数处取到极大值，则的取值范（ ）A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2．请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
3．本卷共10小题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 不等式的解集是 ．
14. 已知，，则z取得最大值时的最优解为
15. 若且,则实数的值为
16. 给出下列命题：
①若成等比数列；
②已知函数的交点的横坐标为；
③函数至多有一个交点；
④函数
其中正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上）。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若m，n，试求|mn|的最小值．
18. （本题满分12分）
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击3次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
19. （本小题满分12分）
已知矩形ABCD中，AB=，AD=1. 将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上.
（Ⅰ）求证：AD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离；
（Ⅲ）若E为BD中点，求二面角E-AC-B的大小.
20. （本题满分12分）
已知数列的前项之和为，点在直线上，数列满足
()。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项之和。
21. （本题满分12分）
已知函数（）的图象为曲线．
（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
22．（本题满分12分）
已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，另一个焦点是，且。
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值。
哈尔滨市第六中学2009届高三第二次模拟考试
数学（文史类）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
D
C
A
C
B
C
D
A
B
二、填空题（4×5=20分）
13. 14. 15.1或-3 16.②③④
三、解答题：
17．（本题满分10分）
（1），
即，
∴，∴． ------------------3分
∵，∴． ------------------4分
（2）mn ， ------------------5分
|mn|． ----7分
∵，∴，∴．
从而． ------------------8分
∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．
所以，|mn|． ------------------10分
18. （本题满分12分）
解： (1)；-------------------------6分
(2)．------------------------12分
19. （本小题满分12分）
方法1：
（Ⅰ）证明：∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线，∴平面ADC⊥平面BCD. 又∵BC⊥DC，∴BC⊥DA，又∵AD⊥AB, AB∩AC=A
∴AD⊥平面ABC；-----------------------4分
（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC. ∴平面ADB⊥平面ABC.过C做CH⊥AB于H，∴CH⊥平面ADB，所以CH为所求。且CH=即点C到平面ABD的距离为. -----------------8分
（Ⅲ）解：取中点，连为中点
由（Ⅱ）中结论可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.
过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，
则GF为EG在平面ABC的射影，
∴∠EGF是所求二面角的平面角.
在△ABC中
FG＝BC＝, 又EFAD，∴EF＝
在△EFG中容易求出∠EGF=45°.
即二面角B-AC-E的大小是45°. . ----------------12分
20. （本小题满分12分）
（1）由已知条件得=2n+1∴n=n(2n+1) . ----------------2分
当n=1时,a1=S1=3; ---------------3分
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=4n-1∵a1符合上式∴an=4n-1; ---------------6分
（2）∵
∴
∴∴bn=4×3n+1∴Tn=6(3n-1)+n; ---------------12分
21. （本小题满分12分）
解：（1），则，
即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；------------2分
（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------4分
解得或，由或
得：；-------------------------------6分
（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，
，
则切线方程是：，
化简得：，--------------------------7分
而过B的切线方程是，
由于两切线是同一直线，
则有：，得，----------------------9分
又由，
即
，即
即，
得，但当时，由得，这与矛盾。
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。--------------------------------12分
22. （本小题满分12分）
（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点， 则点为。-----------------------1分
，而为，则有
则有，所以 -----------------------2分
又因为
所以 -----------------------3分
所以椭圆方程为： -----------------------4分
（2）由（1）知,过点的直线与椭圆交于两点，则
的周长为，则（为三角形内切圆半径），当的面积最大时，其内切圆面积最大。 -----------------------5分
设直线方程为：，，则
--------------------7分
所以-------------------9分
令，则，所以，而在上单调递增，
所以，当时取等号，即当时，的面积最大值为3，结合，得的最小值为-----------------12分
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