河南省示范性高中罗山高中2009届高三5月综合测试
数学试题（文）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合
和
若A＝B，则
的值为（ ）
A. －1 B.
2. 设数列
是等比数列，
是的前n项和，对任意正整数n，有
，又
，则
等于（ ）
A. 200 B.
3. 已知椭圆
的短轴端点分别为
，左、右焦点分别为F1，F2，长轴右端点为A，若
，则椭圆的离心率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且
。则
＝（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 函数
的图象在
处的切线与圆
的位置关系是（ ）
A. 相交但不过圆心 B. 相交且过圆心 C. 相切 D. 相离
6. 在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的有（ ）个
A. 36 B.
7. 设F1、F2为曲线
的焦点，P是曲线
与C1的一个交点，则
的值为（ ）
A. B. C. 
D. －
8. 将
的图象（ ）
A. 先向左平行移动1个单位 B. 先向右平行移动1个单位
C. 先向上平行移动1个单位 D. 先向下平行移动1个单位
再作关于直线
对称的图象，可得函数
的图象.
9. 对于
，恒有
成立，则
的表达式可以是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
10. 设集合
，
是从集合A到集合B的映射，在映射f下，象的原象有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 已知函数是偶函数，
是奇函数，且
，则
的值是（ ）
A. B. C. 
D. 
12. 正三棱锥
中，M是SC的中点，
，若侧棱
，此正三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. 36
B.
C. 144 D.
256
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上.
13.对于任意实数x，有
则
＝
.
14. 已知直线
与圆
交于A、B两点，O为原点，且
，则实数
的值为
.
15. 已知三棱柱ABC―A1B1C1的侧棱与底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则三棱柱ABC―A1B1C1的体积为 .
y≥0
16. 由线性约束条件 y≤x 所确定的区域面积为S，记
，
y≤2-x
t≤x≤t+1
则
的最大值为
.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17. （本小题满分10分）已知函数
.
（1）求函数的最小正周期和最小值；
（2）写出在[0，]上的递增区间.
18 （本小题满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点。将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D―ABCE.
（1）求证：BE⊥平面ADE；
（2）求BD与平面ADE所成角的正切值.
19. （本小题满分12分）某生物学习小组对A、B两种珍稀植物种子的发芽率进行验证性实验，每实验一次均种下一粒A种子和一粒B种子，已知A、B两种种子在一定条件下每粒发芽的概率分别为，，假设两种种子是否发芽互不受影响，任何两粒种子是否发芽相互之间也没有影响.
（1）求3粒A种子，至少有一粒未发芽的概率；
（2）求A、B各3粒种子，A至少有2粒发芽且B全发芽的概率；
（3）求A、B各2粒种子做发芽实验时A种种子发芽数比B种种子发芽数多的概率.
20. （本小题满分12分）函数
的图像关于原点对称，且时，有极值－.
（1）求的解析式；
（2）当
时，函数的图象上是否存在两点A、B使此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；
（3）当
时，求证：
.
21. （本小题满分12分）设数列前n项和为，且
（1）求的通项公式；
（2）若数列
满足
，求的通项公式；
（3）若数列
满足
且
，求数列的通项公式.
22. （本小题满分12分）设点
，动圆P经过点F，且和直线
相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点A（0，－2）作直线与抛物线C交于M、N两点，弦MN的垂直平分线交y轴于B点.
1求|OB|的取值范围；
2若△BMN是直角三角形，求B点的坐标.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
A
A
B
B
D
C
B
B
C
13.
9 14. 
15. 
16. 
17.解：（1）
（4分）
的最小正周期为
（5分）
的最小值为-2
（6分）
（2）的递增区间为
和
（10分）
18.（1）证明：过D作DH
AE于H,
平面ADE平面ABCE
DH平面ABCE DHBE
在
中，由题设条件可得：AB=2,AE=BE=
AEBE
BE平面ADE
（6分）
（2）由（1）知，BE平面ADE，
为BD和平面ADE所成的角，且BEDE
在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E为CD的中点
DE=1,BE=
在
中，
故BD和平面ADE所成角的正切值为
（12分）
19.（1）记“3粒种子，至少有1粒未发芽”为事件
，
由题意，种3粒种子，相当于作3次独立重复试验，
故
（4分）
（2）记“3粒A种子，至少有2粒未发芽”为事件
，“3粒B种子，全部发芽”为事件
，则
（6分）
由于
相互独立，故
（8分）
（3）
（12分）
20.解：（1）的图像关于原点对称，为奇函数
又
（4分）
（2）假设存在两点
满足题设条件
而两切线垂直，则应有
，矛盾，
故不存在满足题设条件的两点A,B （8分）
（3）
时，
，在
为减函数
而
时
（12分）
21.解：（1）
两式相减得：
又
时，
是首项为
，公比为的等比数列
（4分）
（2）
为以-1为公差的等差数列，
（7分）
（3）
以上各式相加得：
当
时，
当时，上式也成立，
（12分）
22.（1）依抛物线定义知，点P的轨迹C，为N，F为焦点，直线
为准线的抛物线
曲线C的方程为
.
（4分）
（2）①设M、N的方程为
带入并整理得
设MN的中点为
则
MN的垂直平分线方程为
点B的坐标为
故
的范围是
（8分）
②易得弦长
若
为直角三角形，则为等腰直角三角形，
点B的坐标为（0，10）
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