试卷类型：A
2009年广东省广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数 学（理科）
2009.４
本试卷共4页，21小题， 满分150分。 考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式
，
其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
球的表面积公式
，其中
为球的半径．
如果事件
、
互斥，那么
．
如果事件在一次试验中发生的概率是
，那么在
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果复数
是纯虚数，则实数
的值为
A．0 B．
2．已知函数
则函数
的零点个数为
A．1 B．
3．已知全集
，集合
≤
，
，则
A．
B．
C．
D．
4．命题“
，
”的否定是
A．，
≥0 B．，
C．
，≥0 D．，
5．已知点
，直线
：
，点
是直线上的一点，若
，则点
的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
6．函数
的导函数
在区间
上的图像大致是
A. B. C. D.
7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有
A．24种 B．30种 C．36种 D．48种
8．设直线与球
有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面
、
截球的两个截面圆的半径分别为
和
，二面角
的平面角为
，则球的表面积为
A．
B．
C．
D．
（一）必做题（9～12题）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9．在空间直角坐标系中，以点
，
，
为顶点的
是以
为斜边的等腰直角三角形，则实数
的值为 ．
10．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为 分．
12．在平面内有
≥
条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这条直线把平面分成
个平面区域，则
的值是
，的表达式是 ．
（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）
13．（几何证明选讲选做题）如图3所示，在四边形
中，
，
，则
的值为
．
14．（不等式选讲选做题） 函数
的最小值为 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）直线
被圆
（
为参数）所截得的弦长为
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知向量
，
，设函数
．
（1）求函数的值域；
（2） 已知锐角的三个内角分别为
，
，
，若
，
，求
的值．
17．（本小题满分12分）
在长方体
中，
，过
、
、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体
，且这个几何体的体积为
．
（1）求棱
的长；
（2）在线段
上是否存在点，使直线
与
垂直，
如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由．
18．（本小题满分14分）
已知等比数列
的前项和为
，若
，
，
成等差数列，试判断
，
，
是否成等差数列，并证明你的结论．
19．（本小题满分14分）
一个口袋中装有2个白球和个红球（≥2且
），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
（1）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率
；
（2）若
，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为
，当为何值时，最大？
20．（本小题满分14分）
已知函数
，
，其中
．
（1）若
是函数
的极值点，求实数
的值；
（2）若对任意的
（
为自然对数的底数）都有
≥
成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知双曲线：
的离心率为
，左、右焦点分别为
、
，在双曲线上有一点
，使
，且
的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点
的动直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点、，在线段
上取异于、的点
，满足
．证明：点总在某定直线上．
2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
C
B
A
D
D
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题得分．第12题第1个空3分，第2个空2分.
9．2
10．79
11．0 或 2 12．16，
13．1 14．3 15．6
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
解：（1）
．
∵
，
∴函数
的值域为
．
（2）∵
，
，∴
，
．
∵
都为锐角，∴
，
．
∴
．
∴
的值为
．
17．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
解：（1）设
,∵几何体
的体积为
，
∴
，
即
，
即
，解得
．
∴
的长为4．
（2）在线段
上存在点
，使直线
与
垂直．
以下给出两种证明方法：
方法1：过点
作的垂线交
于点
，过点作
交于点．
∵
，
，
，
∴
平面
．
∵
平面，∴
．
∵
，∴平面
．
∵
平面，∴
．
在矩形
中，∵
∽
，
∴
，即
，∴
．
∵
∽
，∴
，即
，∴
．
在
中，∵
，∴
．
由余弦定理，得
．
∴在线段上存在点,使直线与垂直，且线段的长为
．
方法2：以点
为坐标原点，分别以
，
，
所在的直线为
轴，
轴，
轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知，
，
，
，
假设在线段上存在点
≤≤2，
，0≤≤
使直线与垂直，过点作
交
于点．
由
∽
，得
，
∴
．
∴
．
∴
，
．
∵
，∴
，
即
，∴
．
此时点的坐标为
，在线段上．
∵
，∴
．
∴在线段上存在点，使直线与垂直，且线段的长为．
18．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解：设等比数列
的首项为
，公比为
，
若
，
，
成等差数列，
则
．
∴
．
∵
，
，∴
．
解得
或
．
当时，∵
，
，
，
∴
．
∴当时，
，
，
不成等差数列．
当时，，，成等差数列．下面给出两种证明方法．
证法1：∵
，
∴
．
∴当时，，，成等差数列．
证法2：∵
，
又
，
∴．
∴当时，，，成等差数列．
19．（本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解：（1）∵一次摸球从
个球中任选两个，有
种选法，
任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有
种选法，
∴一次摸球中奖的概率
．
（2）若
，则一次摸球中奖的概率
，
三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是
．
（3）设一次摸球中奖的概率为，则三次摸球恰有一次中奖的概率为
，
，
∵
，
∴
在
上为增函数，在
上为减函数．
∴当
时，取得最大值．
∵
≥
，
解得
．
故当时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大．
20．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）解法1：∵
，其定义域为
，
∴
．
∵
是函数
的极值点，∴
，即
．
∵
，∴
．
经检验当时，是函数的极值点，
∴．
解法2：∵，其定义域为
，
∴．
令
，即
，整理，得
．
∵
，
∴的两个实根
（舍去），
，
当变化时，，
的变化情况如下表：
―
0
＋
极小值
依题意，
，即
，
∵，∴．
（2）解：对任意的
都有
≥
成立等价于对任意的都有
≥
．
当
［1，
］时，
同步练习册答案
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