2009年上海市普通高等学校秋季招生考试
数 学 模 拟 试 卷（2009.3）
考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、座位号、校验码等填写清楚.
2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.
3.本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。
一. 填空题 (本大题满分55分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得5分，否则一律得零分.
1．已知
，则
＝______________。
2．方程
的解集是
。
3．若Z为复数，且
，则
___________。
4．以椭圆
中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为______________。
5．底面边长为2，侧棱长为4的正三棱锥的体积是 ．
6．（文）若向量
与
的夹角为
，
，则
．
（理）已知两个非零向量与的夹角为
，
，
，若
的模为
，则实数
的值是 ．
7．工业博览会期间，有6辆不同型号的新型轿车排成2行3列的展出，其中有2辆轿车来自大众汽车集团公司，则此2辆轿车前后或左右相邻的概率为___________。（用分数表示）
8．若数列
中，
，则数列中的项的最小值为_________．
9．（文）设
是不等式组
表示的平面区域，
则中的点
到直线
距离的最大值是
。
（理）设常数
展开式中
的系数为
，
则
__
___。
10．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．
11．抛物线
(n∈N*)，交x轴于
两点，
则
值为____ _______
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
12．若
，则角
的终边所在象限是（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
13．条件甲：
，条件乙：
，则甲是乙成立的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
14．已知P是椭圆
上的点,
是两个焦点,则
的最大值与最小值之差是( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
15．设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“＊”（即对任意的
，对于有序元素对
，在S中有唯一确定的元素
＊
与之对应）。若对任意的，
有＊
＊
=，则对任意的，下列等式中不恒成立的是
（ ）
（A）＊＊=
（B）＊＊=
（C）
＊＊
＊＊=
（D）＊＊
＊＊=
三、解答题（本大题满分79分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
16．（本题满分12分）在棱长为2的正方体
中，（如图）
是棱
的中点，
是侧面
的中心．
（1） 求三棱锥
的体积；
（2） 求
与底面
所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数
(其中
),
.若函数
的图像与x轴的任意两个相邻交点间的距离为
，且直线
是函数图像的一条对称轴.
(1)求的表达式.
(2)求函数
的单调递增区间.
18. （本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）
在4月份，有一新款服装投入某商场销售，
（1）问4月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？
（2）按规律，当该商场销售此服装超过2000件时，社会上就流行，而日销售量连续下降，并低于150件时，则流行消失，问该款服装在社会上流行是否超过10天？并说明理由。
19. （本题满分16分，第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）
双曲线
上一点
到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设
是双曲线的左右焦点，
是双曲线上的点，若
，
求
的面积；
（3）过
作直线
交双曲线
于
两点，若
，是否存在这样的直线，使
为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．
20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）
由函数
确定数列
，
，函数的反函数
能确定数列
，
，若对于任意
，都有
，则称数列是数列的“自反数列”。
(1)若函数
确定数列的自反数列为，求的通项公式；
(2)在(1)条件下，记
为正数数列
的调和平均数，若
，
为数列
的前
项和，
为数列
的调和平均数，求
；
(3)已知正数数列
的前项之和
。求
的表达式。
1. 
2. 
3．
4．
5．
6．（文）
（理）
7．
8． 4 9．（文）
（理）1 10．
11．
12-15. C A A B
16. （1）
．
（2）取
的中点
，所求的角的大小等于
的大小，
中
，所以
与底面
所成的角的大小是
．
17. (1)由函数
的图像与x轴的任意两个相邻交点间的距离为
得函数周期为
,
直线
是函数图像的一条对称轴,
,
或
,
, 
, 
. 
.
(2)
,
即函数
的单调递增区间为
.
18. （1）第
天销售的件数为
则
则：
解得
，即
（2）时，
，即未流行
时，
即从
当
时，
，令
，解得
即从
19. （1）
（2） 妨设
在第一象限，则
（3）若直线斜率存在，设为
，代入
得
若平行四边形
为矩形，则
无解
若直线垂直
轴，则
不满足．
故不存在直线
，使为矩形．
20. 解：(1)由题意的：f ?1(x)=
= f(x)=
，所以p = ?1，所以an=
翰林汇
(2) an=，dn=
=n，
Sn为数列{dn}的前n项和，Sn=
，又Hn为数列{Sn}的调和平均数，
Hn=
=
=
=
=
(3)因为正数数列{cn}的前n项之和Tn=(cn+
)，
所以c1=(c1+
)，解之得：c1=1，T1=1
当n≥2时，cn = Tn?Tn?1，所以2Tn = Tn?Tn?1 +
，
Tn +Tn?1 = ，即：
= n，
所以，
= n?1，
= n?2，……，
=2，累加得：
=2+3+4+……+ n， 
=1+2+3+4+……+ n =
，Tn=
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