2009年云南省曲靖一中高考冲刺卷理科数学（二）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将答题卡和答题纸交回．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试卷上．
一、选择题：（每小题５分，共60分）
1．设集合
，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2 设
且
，若复数
是纯虚数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的图象（ ）
A．关于
轴对称 B．关于
轴对称 C．关于直线
对称 D．关于原点对称
4．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知实数
同时满足三个条件：① 
，②
，③
，则
的最
小值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．从5名男运动员、4名女运动员中任选4名参加
米接力赛跑，则选到的4名运动员中既有男运动员又有女运动员的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
的展开式中的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，
，动直线
与
、
的图象分别交于点
、
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设
，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．正四面体
中，
是
中点，
与
所成角的余弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
11．某等腰三角形的两腰所在的直线方程是
与
，点
在等腰三角形的底边上，底边所在直线的斜率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
12．正四面体的内切球与外接球的半径的比等于（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：请用黑色中性笔将答案写在答题纸上，在本试卷上作答无效．
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13. 已知向量
，
与
共线，则
．
14. 设曲线
在
处的切线与直线
垂直，则直线
的倾斜角是
弧度．
15. 曲线
的过焦点且倾斜角是
的弦的长度等于 ．
16. 请写出一个三棱锥是正三棱锥的三个充要条件：
充要条件①
；
充要条件②
；
充要条件③
．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17. （本题满分10分）在
中，
，
，求的面积．
18. （本题满分12分）在正三棱柱
中，
，
，
是
的中点，在
上且
．
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
19. （本题满分12分）关于学平险（即学生平安保险），学生自愿投保，每个投保学生每年缴纳保费
元，如果学生发生意外伤害或符合赔偿的疾病，可获得
元的赔偿．假定各投保学生是否出险相互独立，并且每个投保学生在一年内出险的概率均是
（说明：此处对实际保险问题作了简化处理）．假定一年内有人投保．
（Ⅰ）求保险公司在学平险种中，一年内至少支付赔偿金元的概率；
（Ⅱ）设保险公司办理学平险除赔偿金之外的成本为
万元，求该公司在学平险种上盈利的期望．
20. （本题满分12分）设数列
的前
项和为
，满足
．
（Ⅰ）当
时，用表示；
（Ⅱ）求首项
的取值范围，使得是递减数列．
21. （本题满分12分）设函数
．
（Ⅰ）求的单调区间及极值；
（Ⅱ）如果对于任意
恒有
，求
的取值范围．
22. （本题满分12分）点
是椭圆
短轴的一个端点，
是椭圆的一个焦点，
的延长线与椭圆交于点
，直线
与椭圆相交于点
、，与相交于点（与
、不重合）．
（Ⅰ）若是的中点，求
的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
一、
1．C 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．D 10．C
11．D 12．B
1～5略
6．
或
．
7．解：
．
其展开式中含
的项是：
，系数等于
．
8．解：根据题意：
．
9．解：
，椭圆离心率为
，
，
．
10．解：依腰意作出图形．取
中点
，连接
、
，则
，不妨设四面体棱长为2，则
是等腰三角形，
必是锐角，就是
与
所成的角，
．
11．解：已知两腰所在直线斜率为1，
，设底边所在直线斜率为
，已知底角相等，由到角公式得：
，解得
或
．
由于等腰三角底边过点（
，0）则只能取
．
12．解：如图，正四面体
中，
是
中心，连
，此四面体内切球与外接球具有共同球心
．必在上，并且
等于内切球半径，
等于外接球半径．记
面积为
，则
，从而
．
二、
13．
．解：
，
与
共线
．
14．
．解：
，曲线
在（1，0）处的切线与直线
垂直，则
，的倾角是．
15．曲线
①，化作标准形式为
，表示椭圆，由于对称性．取焦点
，过且倾角是135°的弦所在直线方程为：
，即
②，联立式①与式②．消去y，得：
，由弦长公式得：
．
16．充要条件①：底面是正三角形，顶点在底面的射影恰是底面的中心．
充要条件②：底面是正三角形．且三条侧棱长相等，
充要条件③：底面是正三角形，且三个侧面与底面所成角相等．
再如：底面是正三角形．且三条侧棱与底面所成角相等；三条侧棱长相等，且三个侧面与底面所成角相等；三个侧面与底面所成角相等，三个侧面两两所成二面角相等．
三、
17．解：
，则
，
，
．由正弦定理得
，
．
18．（1）证：已知
是正三棱柱，取
中点，
中点，连
，
，则、
、两两垂直，以、、为、
、
轴建立空间直角坐标系，又已知
，
则
．
，
，则
，又因
与
相交，故
面
．
（2）解：由（1）知，
是面的一个法向量．
，设
是面
的一个法向量，则
①，
②，取
，联立式①、②解得
，则
．
二面角
是锐二面角，记其大小为
．则
，
二面角的大小
，亦可用传统方法解（略）．
19．解：已知各投保学生是否出险相互独立，且每个投保学生在一年内出险的概率都是
，记投保的5000个学生中出险的人数为
，则
（5000，0．004）即服从二项分布．
（1）记“保险公司在学平险险种中一年内支付赔偿金至少5000元”为事件A，则
，
．
（2）该保险公司学平险除种总收入为
元=25万元，支出成本8万元，支付赔偿金5000元=0．5万元，盈利
万元．
由~
知，
，
进而
万元．
故该保险公司在学平险险种上盈利的期望是7万元．
20．解（1）：由
得
，即
，
，而
由表可知，
在
及
上分别是增函数，在
及
上分别是减函数．
．
（2）
时，
等价于
，记
，
则
，因
，
则
在
上是减函数，
，故
．
当
时，
就是
，显然成立，综上可得
的取值范围是：
22．解：（1）由条件可知椭圆的方程是：
①，直线
的方程是
②，
联立式①、②消去并整理得
，由此出发时，
是等比数列，
．
（2）由（1）可知，
．当
时，
，
是递减数列
对恒成立
．
，
时，是递减数列．
21．解（1）：
，由
解得函数定义域呈
．
，由
解得
，列表如下：
0
0
ㄊ
极大
ㄋ
ㄋ
极小
ㄊ
解得
，进而求得中点
．
己知
在直线
上，则
．
（2）
．
设
，则
，点
到直线的距离
．
，由于直线与线段相交于
，则
，则
．
记
，则
．
其次，
，同理求得
到的中离：
，
设
，即
，由
得
．
，
即
且
时，
．
又
，当
即
时，
．注意到
，由对称性，
时仍有
故
，进而
．
故四边形的面积：
，
当时，
．
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