（2012•盐城一模）[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交⊙O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于P．
求证：PD²=PA•PC．

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若数列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，b₁=b，

an=-2an-1+4bn-1 bn=-5an-1+7bn-1

，（n∈N，n≥2）．请按照要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上．
（1）可考虑利用算法来求a_m，b_m的值，其中m为给定的数据（m≥2，m∈N）．右图算法中，虚线框中所缺的流程，可以为下面A、B、C、D中的

ACD

ACD

（请填出全部答案）
A、B、
C、D、

（2）我们可证明当a≠b，5a≠4b时，{a_n-b_n}及{5a_n-4b_n}均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空．
证明：{a_n-b_n}是等比数列，过程如下：a_n-b_n=（-2a_n-1+4b_n-1）+（5a_n-1-7b_n-1）=3a_n-1-3b_n-1=3（a_n-1-b_n-1）
所以{a_n-b_n}是以a₁-b₁=a-b≠0为首项，以

3

3

为公比的等比数列；
同理{5a_n-4b_n}是以5a₁-4b₁=5a-4b≠0为首项，以

2

2

为公比的等比数列
（3）若将a_n，b_n写成列向量形式，则存在矩阵A，使

an bn

=A

an-1 bn-1

=A(A

an-2 bn-2

)=A2

an-2 bn-2

=…=An-1

a1 b1

，请回答下面问题：
①写出矩阵A=

-2 4 -5 7

-2 4 -5 7

；  ②若矩阵B_n=A+A²+A³+…+Aⁿ，矩阵C_n=PB_nQ，其中矩阵C_n只有一个元素，且该元素为B_n中所有元素的和，请写出满足要求的一组P，Q：

P=

1   1

，Q=

1 1

P=

1   1

，Q=

1 1

； ③矩阵C_n中的唯一元素是

2ⁿ⁺²-4

2ⁿ⁺²-4

．
计算过程如下：

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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圆上一点使得BC=5，求线段AB的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
求曲线C：xy=1在矩阵

2 2 - 2 2 2 2 2 2

对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ为参数）和曲线C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

．
（1）将两曲线方程分别化成普通方程；
（2）求两曲线的交点坐标．
D．（选修4-5：不等式选讲）
已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，求证：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量α2=

1 -1

，求矩阵A的逆矩阵A^-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，

π

2

)，直线l过点A且倾斜角为

π

4

，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求证：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圆上一点使得BC=5，求线段AB的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
求曲线C：xy=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁：（θ为参数）和曲线C₂：ρsin（θ-）=．
（1）将两曲线方程分别化成普通方程；
（2）求两曲线的交点坐标．
D．（选修4-5：不等式选讲）
已知|x-a|＜，|y-b|＜，求证：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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一、

1．C       2．A      3．D      4．C       5．A      6．B       7．A      8．C       9．D      10．C

11．D     12．B

1～5略

6．或．

7．解：

       ．

其展开式中含的项是：，系数等于．

8．解：根据题意：．

9．解：，椭圆离心率为，，．

10．解：依腰意作出图形．取中点，连接、，则，不妨设四面体棱长为2，则是等腰三角形，必是锐角，就是与所成的角，．

11．解：已知两腰所在直线斜率为1，，设底边所在直线斜率为，已知底角相等，由到角公式得：

       ，解得或．

       由于等腰三角底边过点（，0）则只能取．

12．解：如图，正四面体中，是

中心，连，此四面体内切球与外接球具有共同球心．必在上，并且等于内切球半径，等于外接球半径．记面积为，则

，从而．

二、

13．．解：，与共线．

14．．解：，曲线在（1，0）处的切线与直线垂直，则，的倾角是．

15．曲线      ①，化作标准形式为，表示椭圆，由于对称性．取焦点，过且倾角是135°的弦所在直线方程为：，即②，联立式①与式②．消去y，得：，由弦长公式得：．

16．充要条件①：底面是正三角形，顶点在底面的射影恰是底面的中心．

充要条件②：底面是正三角形．且三条侧棱长相等，

充要条件③：底面是正三角形，且三个侧面与底面所成角相等．

再如：底面是正三角形．且三条侧棱与底面所成角相等；三条侧棱长相等，且三个侧面与底面所成角相等；三个侧面与底面所成角相等，三个侧面两两所成二面角相等．

三、

17．解：，则，，．由正弦定理得

       ，

       ．

18．（1）证：已知是正三棱柱，取中点，中点，连，，则、、两两垂直，以、、为、、轴建立空间直角坐标系，又已知，

则．

，，则，又因与相交，故面．

（2）解：由（1）知，是面的一个法向量．

，设是面的一个法向量，则①，②，取，联立式①、②解得，则．

              二面角是锐二面角，记其大小为．则

              ，

二面角的大小，亦可用传统方法解（略）．

19．解：已知各投保学生是否出险相互独立，且每个投保学生在一年内出险的概率都是，记投保的5000个学生中出险的人数为，则（5000，0．004）即服从二项分布．

（1）记“保险公司在学平险险种中一年内支付赔偿金至少5000元”为事件A，则

              ，

              ．

（2）该保险公司学平险除种总收入为元=25万元，支出成本8万元，支付赔偿金5000元=0．5万元，盈利万元．

由~知，，

进而万元．

故该保险公司在学平险险种上盈利的期望是7万元．

20．解（1）：由得，即，

              ，而

由表可知，在及上分别是增函数，在及上分别是减函数．

．   

（2）时，等价于，记，

则，因，

则在上是减函数，，故．

当时，就是，显然成立，综上可得的取值范围是：

22．解：（1）由条件可知椭圆的方程是：

                ①，直线的方程是            ②，

联立式①、②消去并整理得，由此出发时，是等比数列，

．

（2）由（1）可知，．当时，

       ，

       是递减数列

       对恒成立．

       ，时，是递减数列．

21．解（1）：，由解得函数定义域呈．

              ，由解得，列表如下：

0

0

ㄊ

极大

ㄋ

ㄋ

极小

ㄊ

              解得，进而求得中点．

              己知在直线上，则．

       （2）．

设，则，点到直线的距离

．

，由于直线与线段相交于，则，则．

记，则．

其次，，同理求得到的中离：，

设，即，由得．

，

即且时，．

又，当即时，．注意到，由对称性，时仍有

故，进而．

故四边形的面积：

，

当时，．