江苏省镇江市2009年高三调研测试
数 学 试 卷
命题单位：镇江市教育局教研室
第Ⅰ部分(正卷)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。不需写出解答过程。请把答案写在答题纸的指定位置上。
1、已知集合
，
，则
=
，
2、已w ww.ks 5u.c om知复数
满足
,则
=
。
3、命题“存在
，使
”的否定是
。
4、下面是一个算法的程序框图，当输入的值
为8时，则其输出的结果是
。
5、设
是满足不等式组
的区域，
是满足不等式组
的区域；区域内的点
的坐标为
，当
时，则
的概率为
。
6、一个三棱w ww.ks
5u.c om锥的三视图是三个直角三角形，
如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积
为 。
7、某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：
分数段
人数
3
6
11
14
分数段
人数
13
8
4
1
那么分数不满110的累积频率是 （精确到0.01）
8、点
在直线
上，则
的最小值是
。
9、设
表w ww.ks
5u.c om示不超过的最大整数，则的不等式
的解集是
。
10、已知数列
对于任意
，有
，若
，则
。
11、已知
，则
=
。
12、函数
的图象恒过定点，若点在直线
上，其中
，则
的最小值为
。
13、已知w ww.ks 5u.c om点
在
内部，且有
，则
与
的面积之比为
。
14、已知过点
的直线
与轴正半轴、
轴正半轴分别交于、两点，则距离
最小值为
。
二、解答题：本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
15、（本小题满分14分）
已知
（1） 求
的值；
（2）求
的值。
16、（本小题满分14分）
多面体
中，
，
，
，
。
（1）求证：
；
（2）求证：
。
17、(本小题满分15分)
如图所示，将一矩形花坛
扩建成一个更大的矩形花园
，要求B在
上，D在
上，且对角线
过C点，已知AB=
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?
(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；
(3)若的长度不少于的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积。
18、（本小题满分15分）
已知圆
，直线
过定点
。
（1）若与圆相切，求的方程；
（2）若与圆相交于
丙点，线段
的中点为
，又与
的交点为
，判断
是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。
19、（本小题满分16分）
已知直线
，⊙
上的任意一点P到直线的距离为
。
当取得最大时对应P的坐标
，设
。
（1） 求证：当
，
恒成立；
（2） 讨论关于的方程：
根的个数。
20、（本小题满分16分）
已知数列
和
满足：
，
，
，其中
为实数，
为正整数。
（1） 若数列前三项成等差数列，求的值；
（2） 试判断数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数都有
？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。
第Ⅰ部分（正卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
1、
2、
3、对任意
使
4、2 5、
6、
7、
8、8
9、
10、40
11、
12、4
13、
14、
二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
15、解：（1）解：
，
由
，有
，
解得
。
……7分
（2）解法一：
……11分
。
……14分
解法二：由（1），，得
∴
∴
……10分
于是
，
……12分
代入得
。
……14分
16、证明：（1）∵
∴
……4分
（2）令
中点为
，
中点为
，连结
、
∵是
的中位线
∴
……6分
又∵
∴
∴
……8分
∴
∵
为正
∴
……10分
∴
又∵
，
∴四边形
为平行四边形 ……12分
∴
∴
……14分
17、解：（1）设
米，
，则
∵
∴
∴
……2分
∴
∴
……4分
∴
∴
或
……5分
（2）
……7分
此时
……10分
（3）∵
令
，
……11分
∵
当
时，
∴在
上递增
……13分
∴
此时
……14分
答：（1）
或
（2）当
的长度是
的面积最小，最小面积为24平方米；
（3）当的长度是的面积最小，
最小面积为27平方米。
……15分
18、（1）解：①若直线
的斜率不存在，即直线是
，符合题意。 ……2分
②若直线斜率存在，设直线为
，即
。
由题意知，圆心
以已知直线的距离等于半径2，即：
，
解之得
……5分
所求直线方程是，
……6分
（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为
由
得
……8分
又直线
与垂直，由
得
……11分
∴
……13分
为定值。
故
是定值，且为6。
……15分
19、解：（1）由题意得
，
……2分
∴
，
∴
……3分
∴
，∴
在
是
单调增函数， ……5分
∴
对于
恒成立。
……6分
（2）方程
； ∴
……7分
∵
，∴方程为
……9分
令
，
，
∵
，当
时，
，∴
在
上为增函数；
时，
， ∴在
上为减函数， ……12分
当
时，
……13分
，
∴函数
、
在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当
，即
时，方程无解。
②当
，即
时，方程有一个根。
③当
，即
时，方程有两个根。 ……16分
第Ⅱ部分（附加卷）
一、必做题
21、解：（1）由
得
，
求得
，
，
……3分
(2)猜想
……5分
证明：①当时，猜想成立。
……6分
②设当
时
时，猜想成立，即
，
……7分
则当
时，有
,
所以当时猜想也成立
……9分
③综合①②，猜想对任何
都成立。
……10分
22、解：（1）“油罐引爆”的事件为事件A，其对立事件
，则
∴
答：油罐被引爆的概率为
……5分
（2）射击次数
的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
……7分
故的分布列为：
2
3
4
5
P
……10分
二、选做题（每题10分）（选两道）
1、证明：因为A，M，D，N四点其圆，
所以
，
……3分
同理，有
……5分
所以
， ……7分
即
，
所以
……10分
2、解：（1）设A的一个特值为
，由题意知：
=0
，
……2分
当时，由
，得A属于特征值2的特征向量
当时，由 
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